2023-2024学年山东省青岛市黄岛区、西海岸新区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省青岛市黄岛区、西海岸新区九年级（上）期末数学试卷，共7页。

满分：120分 时间：120分钟
说明：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有25道题．第Ⅰ卷1-8为选择题，共24分；第Ⅱ卷9-15题为填空题，16题为作图题，17-25题为解答题，共96分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
（下列每小题都给出标号A、B、C、D的四个结论．其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小莉的影子比小玉的影子长B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子和小玉的影子一样长D．无法判断谁的影子长
3．班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数，数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为（ ）
A．B．C．D．
5．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，四边ABCD内接于，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是（ ）cm
A．210B．120C．504D．60
8．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9．已知、均为锐角，且满足，则________．
10．如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是________．
11．如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子，将四幅图按先后顺序排列应为________．
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则________．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且，则k的值为________．
14．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且，，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为________．
15．如图（1），E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是________．
图（1） 图（2）
三、作图题（本满分4分）
16．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：矩形ABCD，使边BC在直线l上，对角线．
四、解答题（本题共8道小题，满分71分）
17．计算：（本题满分8分）
（1）（配方法）；（2）（用适当方法）．
18．（本题满分6分）
小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，两次数字之差（大数减小数）等于2，小明胜；若两次数字之差（大数减小数）等于1，则小亮胜，这个游戏对双方平吗？说说你的理由．（列表或画树状图说明）
19．（本题满分6分）
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
20．（本题满分6分）
如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
图1
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积的函数表达式；
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为2000Pa，问，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
图2
21．（本题满分6分）
阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在中，AD平分，则，
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
任务二：如图3，中，E是BC的中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
图1 图2 图3
22．（本题满分8分）
拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm，点B，C是转运点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
图1 图2
（1）转运连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转运连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
23．（本题满分9分）
如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若，，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
24（本题满分10分）
公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？
25．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．
（1）如图①，求点B、C、D的坐标．
（2）如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含t的式子表示S．
（3）在（2）问的条件下，是否存在某一时刻t，使得矩形与重叠部分的面积为S与的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
（4）当时，求S的最大值（直接写出结果即可）．
图① 图②
备用图 备用图
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
100
1250
受力面积