第二章　§2.8　对数运算与对数函数-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.对数的概念一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b称为以 __为底 的对数，记作 .其中a叫作对数的 数，N叫作 数.以10为底的对数叫作常用对数，记作 .以e为底的对数叫作自然对数，记作 .2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ， ＝ (a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①lga(M·N)＝ ；② ＝ ；③lgaMb＝ (b∈R).(3)对数换底公式：lgab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝_____(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．
1.lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)， ＝ lgab(a>0，且a≠1，b>0)2.如图，给出4个对数函数的图象.
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.(　　)(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　)(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)是增函数.(　　)
(4)函数y＝lg2x与y＝ 的图象关于x轴对称.(　　)
2.(2023·雅安模拟)已知xlg32＝1，则4x等于
所以4x＝ ＝9.
3.函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)的图象大致为
f(x)＝lga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝lga|－x|＋1＝lga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgax＋1(a>1)单调递增.结合选项可知选A.
4.已知函数y＝lga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是 .
对于函数y＝lga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，所以函数y＝lga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).
由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.
(2)计算：lg535＋ － －lg514＝ .
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练1　(1)若a>0， ＝ ，则 等于A.2 B.3 C.4 D.5
所以 ＝3.
(2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝ .
原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.0