第二章　§2.9　指、对、幂的大小比较-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置.
题型一　直接法比较大小
命题点1　利用函数的性质例1　设 ，则a，b，c的大小关系是A.a>c>b B.a>b>cC.c>b>a D.b>c>a
又因为函数y＝ 为增函数，
所以，即bb>a.
例2　(2023·昆明模拟)设a＝ ，b＝，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.a>c>b B.c>a>bC.c>b>a D.a>b>c
而a＝ >0，c＝ >0，所以b最小.
所以ln c>ln a，即c>a，因此c>a>b.
命题点3　特殊值法例3　已知a>b>1,0则 ，∴ac>bc，故A错误；
abc＝4× ，bac＝2× ，∴abc>bac，故B错误；
algbc＝－8，blgac＝－2，∴algbclgbc，故C正确，D错误.
利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg22跟踪训练1　(1)(2023·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝lg0.33，则a，b，c的大小关系为A.a由y＝0.3x为减函数，得0A.a题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
命题点1　作差法例4　(1)设a＝lg62，b＝lg123，c＝lg405，则A.a又b>0，c>0，∴b>c；
∴a(2)(2024·宿州模拟)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，则A.a>0>b B.b>0>aC.a>b>0 D.b>a>0
由3m＝4，得m＝lg34，
∴lg23>lg34，
∴lg34>lg45，
∴b＝4m－5＝ －5＝0，a＝2m－3＝ －3＝0，∴b>0>a.
命题点2　作商法例5　已知a＝0.8－0.4，b＝lg53，c＝lg85，则A.a又∵c<1命题点3　乘方法例6　已知a＝lg35，b＝lg57，c＝ ，则A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b
因为53＝125> ＝81，所以5> ，
所以lg35> ＝ ，即a>c.
因为73＝343< ＝625，所以7< ，
可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，又当x→＋∞时，f′(x)→0，所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2 024)>f(2 023)，即a求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a
因为a＝2100，所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，因为b＝365，所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，因为c＝930＝360，所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c.
(2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则A.3y<2x<5z B.2x<3y<5zC.3y<5z<2x D.5z<2x<3y
令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，
所以3y<2x<5z.
1.设 ，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.c>a>bC.b>c>a D.b>a>c
因为函数y＝ 为减函数，
则c＝ ＝0，因此b>a>c.
2.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝lg52，b＝lg83，c＝ ，则下列判断正确的是A.c3.设a＝lg23，b＝2lg32，c＝2－lg32，则a，b，c的大小关系为A.b4.(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝lgxy，则A.x>y>z B.y>x>zC.z>x>y D.x>z>y
因为3x＝4y＝10，则x＝lg310>lg39＝2,1＝lg44y>1，从而z＝lgxyy>z.
5.已知a＝lg32，b＝lg43，c＝ ，则a，b，c的大小关系为A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.b＞a＞c
故aa>c.
A.p>m>n B.m>n>pC.m>p>n D.p>n>m
因此2>m>n；由0.9p＝0.8，得p＝lg0.90.8>＝2，于是p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
7.已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为A.b>c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c
令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8，
故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减，所以f(8)>f(9)>f(10)，即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108，所以810>99>108，即a>b>c.
8.若a＝lg45，b＝ ，c＝eln 2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为A.a所以根据对数函数y＝lg2x的图象与单调性知lg22A.a>0 B.a<0 C.b>0 D.b<0
因为 ，所以 ，
10.已知大于1的三个实数a，b，c满足(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，则a，b，c的大小关系可能是A.a＝b＝c B.a>b>cC.b>c>a D.b>a>c
方法一　∵三个实数a，b，c都大于1，∴lg a>0，lg b>0，lg c>0，∵(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，即lg a(lg a－lg b)＋lg b(lg c－lg a)＝0，
方法二　令f(x)＝x2－2xlg b＋lg b·lg c，x>0，则lg a为f(x)的零点，且该函数图象的对称轴为直线x＝lg b，故对于方程x2－2xlg b＋lg b·lg c＝0，