第二章　§2.11　方程解的存在性及方程的近似解-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念使得f(x0)＝0的 称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的 .(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即 ，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x) 零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
f(a)·f(b)<0
2.二分法对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的 ，将区间 ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　　)(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.(　　)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　)
2.下列函数中，不能用二分法求零点的是
对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点.
A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)
所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内.
解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2.
题型一　函数零点所在区间的判定
A.(1,2) B.(2，e) C.(e,3) 　D.(3,4)
有x>0，可得x＋ln x－e＝0，令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0，因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0，
A.2 B.3 C.4 　　D.5
∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.
确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1　(1)若a函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.
(2)函数f(x)＝lg2x＋2x－6，函数f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且n∈N，则n＝________.
函数f(x)＝lg2x＋2x－6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝lg22＋22－6＝－1<0，f(3)＝lg23＋23－6＝lg23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.
题型二　函数零点个数的判定
A.5 B.4 C.3 　D.2
当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－lg7|x|，则函数g(x)的零点个数为A.6 B.8 C.12 　　D.14
依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－lg7|x|＝0，即f(x)＝lg7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝lg7|x|的图象，如图所示.由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点.
求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2　(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|lg2x|－1的零点个数为A.0 B.1 C.2 　　D.3
函数f(x)＝3x|lg2x|－1的零点，
令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cs x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，
故f(x)共有6个零点.
题型三　函数零点的应用
命题点1　根据函数零点个数求参数
如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x，由k－x＝x2＋2x＋2可得，x2＋3x＋2－k＝0，
当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)，且与f(x)的图象有3个不同的交点.由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点.
命题点2　根据函数零点的范围求参数
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.
当x∈(－∞，－1)时，
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
A.(0,4) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)
作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示，g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0,4).
当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意；
一、单项选择题1.下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是
由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.
2.(2023·临沂模拟)函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点所在的区间是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)
由于y＝ln x，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即f(2)f(3)<0，故f(x)＝ln x＋2x－5在(2,3)内有唯一零点.
3.(2023·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为
D.0.7
易知f(x)在[0,1]上单调递增，由表格得f(0.562 5)f(0.625)<0，且|0.625－0.562 5|＝0.062 5<0.1，∴函数零点在(0.562 5,0.625)内，∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.
A.(－1，－lg32) B.(0，lg32)C.(lg32,1) D.(1，lg34)
由复合函数单调性可知，h(x)在(1,2)上单调递减，h(2)＝lg32，h(1)＝lg33＝1，故当x∈(1,2)时，h(x)∈(lg32,1)，
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－1]∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[1，＋∞)
当k＝1时，y＝|x－1|；
所以当x＝1时，y′＝1，所以曲线y＝ln x在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，如图，直线y＝x－1与曲线y＝ln x在点(1,0)相切.所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
二、多项选择题7.(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是
A.f(x)＝x2－2x－8 B.f(x)＝C.f(x)＝2x－1－1 D.f(x)＝1－ln(x＋2)
对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；
对于B，∵f(x)＝ 在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确.
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，又由函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，得函数y＝f(x)与y＝lga(x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1，当a>1时，由图可得lga(5＋2)<1＝lgaa，解得a>7；
当0－1＝lgaa－1，
故选项A，D满足条件.
三、填空题9.(2024·赣州模拟)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________.
令f(x)＝x3＋x－5，则f(2)＝8＋2－5＝5>0，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0，由f(1)f(2)<0知根所在区间为(1,2).
10.(2023·南充模拟)设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·lg3b＝c·lg2c＝1，则a，b，c的大小关系为________.
由图象可得b>c>a.
11.如果关于x的方程2x＋3x＋4x＝ax(a∈N+)在区间(1,2)内有解，a的一个取值可以为_______________.
因为2x＋3x＋4x＝ax在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝ax可化为
因为a>4，所以f(x)在R上单调递减，
又a∈N+，所以a＝6或a＝7或a＝8.
(2,4]∪(5，＋∞)
作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示，
由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞).
∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.
若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立；
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0.当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0，∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点；
∴f(x)在(0,2)内有一个零点.综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
14.(2024·天水模拟)已知函数f(x)＝lg2(2＋x)－lg2(2－x).(1)判断f(x)的奇偶性；
f(x)为奇函数，理由如下：
即函数f(x)的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称.又f(－x)＝lg2(2－x)－lg2(2＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
(2)若关于x的方程f(x)＝lg2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
由f(x)＝lg2(a＋x)，得lg2(2＋x)－lg2(2－x)＝lg2(a＋x)，
即关于x的方程f(x)＝lg2(a＋x)有两个不同的实数根，故实数a的取值范围是(1,2).
15.(2023·南通模拟)函数f(x)＝x2 023|x|，若方程(x＋sin x)f(x)－ax2＝0只有三个解x1，x2，x3，且x1因为(x＋sin x)f(x)－ax2＝0，f(x)＝x2 023|x|，所以(x＋sin x)x2 023|x|－ax2＝0，①当x＝0时，方程成立；②若x≠0，(x＋sin x)x2 023|x|－ax2＝0可化为(x＋sin x)x2 021|x|－a＝0⇔(x＋sin x)x2 021|x|＝a，令F(x)＝(x＋sin x)x2 021|x|，因为定义域关于原点对称，
且F(－x)＝[－x＋sin(－x)](－x)2 021|－x|＝(x＋sin x)x2 021|x|＝F(x)，所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以F(x)与y＝a的两个交点对应的横坐标关于y轴对称，即方程(x＋sin x)x2 021|x|＝a的另外两解一定一正一负，又x10，且x1＝－x3≠0，
作出函数的图象如图所示，则可得－2所以－ln(x1＋2)＝－ln(－x2)＝－ln x3＝ln x4，