第二章　§2.12　函数与方程的综合应用-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.
题型一　由零点分布求值(范围)
命题点1　二次函数的零点分布例1　(1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是A.(－5，－4]∪[4，＋∞)B.(－5，－4]C.(－5，＋∞)D.[－4，－2)∪[4，＋∞)
方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得，方程的判别式Δ≥0；f(2)>0；
(2)(2023·苏州模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是
命题点2　其他函数的零点分布例2　已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－lg2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是A.[3.5,4) B.(3.5,4]C.(5,5.5] D.[5,5.5)
由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝－lg2x，
求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数，即求f(x)与g(x)图象的交点个数，如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象，因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，若在区间[－1，m]上有10个零点，
则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为(4,0)，因此3.5≤m<4.
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手(1)开口方向；(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值.
跟踪训练1　(1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
令g(x)＝x2－2ax＋a，由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得
A.0画出函数f(x)与函数y＝k的图象如图所示，f(x)在(－∞，－1]上单调递减，值域为[0，＋∞)；在[－1,0)上单调递增，值域为[0,1)；在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)；在[e2，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞).则有x1＋x2＝－2，ln x3－2＋ln x4－2＝0，即x3x4＝e4，故B错误；
方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，则有00，
则有0题型二　复合函数的零点
命题点1　复合函数的零点个数判定
A.4 B.5 C.6 D.7
令t＝f(x)，g(x)＝0，则f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1，分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1＝0,1对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示，由图象可得，当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根，当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根，综上可得g(x)＝0的实根个数为5，即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5.
命题点2　根据复合函数零点求参数
设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝h(t)＝t2－at＋1，画出f(x)的图象，如图，由图可知，当t<－1时，t＝f(x)有且仅有一个解；当t＝－1或t>2时，t＝f(x)有两个不同的解；当－1对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
由题意，f(x)的图象如图所示，因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解，设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0一、单项选择题1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是A.(0,3) B.[0,3]C.(－3,0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
令f(x)＝－x2＋ax＋4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，
2.若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是A.[0，＋∞)B.(－∞，－8]C.(－∞，－8]∪[0，＋∞)D.(－∞，－8)∪(0，＋∞)
令t＝3x>0，则9x＝t2，由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根.
当且仅当t＝2时，等号成立，所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.因此，实数a的取值范围是(－∞，－8].
A.(－2,0)∪(0,16)B.(0,16)C.(0,2)D.(－2,0)∪(0，＋∞)
f(x)的图象如图所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，
4.若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是
所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0，因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0，f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；
因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－lg2x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－lg2x＝C，所以f(x)＝lg2x＋C，所以f(C)＝lg2C＋C＝3，则lg2C＝3－C，由于函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减，又lg22＝1＝3－2，所以C＝2，故f(x)＝lg2x＋2＝lg2(4x)，
根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4，由f(x)是定义在R上的偶函数，
当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)，
画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示，若在区间(－2,6]内方程f(x)－lga(x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，
即函数f(x)的图象与y＝lga(x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点，y＝lga(x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示，
二、多项选择题7.若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为x1＝2，x2＝3，故A正确；
对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，则x1<2<3对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确.
8.(2023·湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是A.x2＋2x B.x＋1C.ecs x D.ln(|x|＋1)
由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解.对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确；对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误；对于C，当ecs x＝x时，令h(x)＝ecs x－x，
对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，所以方程有实数解，故D正确.
三、填空题9.若存在正实数x，使得ax2＋(a2－1)x＋a＝0成立，则实数a的取值范围是_____________________________.
依题意，关于x的方程ax2＋(a2－1)x＋a＝0有正实数解，当a＝0时，方程的解为x＝0，不符合题意，故a≠0，该方程是关于x的一元二次方程，且有正实数解，注意到x1x2＝1，
若x≤0，f(x)＝－x2－2x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)，
此时有两个“优美点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图①.