第二章　必刷小题2　函数的概念与性质-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}，
2.(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于
f(x)的定义域是R，由题意得f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，故f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，即f(x)是奇函数.
由x－1≠0，得t≠0，
4.(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是A.y＝21－x B.y＝22－xC.y＝21＋x D.y＝22＋x
设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x.
5.(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为
对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)＝ 为非奇非偶函数，故A不符合题意；对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意；
对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意.
因为函数f(x)为R上的偶函数，
因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
7.(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于A.1 B.－1 C.2 D.－3
因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0，所以f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的一个周期为4，所以f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－1.
令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3].因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数.
所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增.又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)二、多项选择题9.(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是
由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；
由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则A.f(x)的图象关于直线x＝1对称B.f(x)在[0,1]上单调递增C.f(x)在[1,2]上单调递减D.f(2)＝f(0)
因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误；由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确.
A.f(x)有且仅有一个零点B.f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减C.f(x)的定义域为{x|x≠1}D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确；
所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确；函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确；
12.(2023·福建联考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是
f(2x＋1)的最小正周期为2，则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，所以f(x)的最小正周期为4，故A错误；因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.又4是f(x)的一个周期，所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确；
f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确；
又f(x)是定义域为R的奇函数，
由已知得f(10)＝f(10－6)＝f(4)＝24－42＝16－16＝0.
14.已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是___________________________________.
f(x)＝－x2(或f(x)＝
－|x|，答案不唯一)
根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；
根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.
15.已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________.
由题意得ln x∈[0,2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，
f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意.故a的值为1.
16.(2024·合肥模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则 ＝________.
因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x).因为f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)＋f(x＋2)＝－2，从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，得f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的一个周期为4.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1；