第三章　§3.2　导数与函数的单调性-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的　　　　；第2步，求出导数f′(x)的　　　；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)单调递增B.在区间(2,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
在区间(3,5)上，当x∈(3,4)时，f′(x)0，故f(x)在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C正确，D错误；在区间(2,3)上，f′(x)0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)0，当x∈(ln 2，a)时，g′(x)0，z(x)在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).
一、单项选择题1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是A.(－∞，2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，＋∞)
由已知得，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，当x0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞).
2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则函数y＝f(x)的图象可能是
根据导函数的图象可得，当xb D.b>c>a
设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，则f′(x)＝ex－1，当x0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴a>c，故b>a>c.
二、多项选择题7.(2023·临汾模拟)若函数f(x)＝ x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是A.1 B.2 C.3 D.4
令f′(x)>0，得x>3，令f′(x)a
当x∈(0,1)时，f′(x)0的解集为__________________.
(－3，－1)∪(0,1)
依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x)在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f′(x)0.
12.已知函数f(x)＝ －2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________.
若函数f(x)在[1,2]上单调，
四、解答题13.(2024·毕节模拟)已知函数f(x)＝(a－x)ln x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝0，
∴f′(1)＝a－1，∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1).
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
令g(x)＝－xln x－x＋a，则g′(x)＝－ln x－2，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
14.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋1.(1)若f(x)≤x＋c，求c的取值范围；
f(x)≤x＋c等价于ln x－x≤c－1.令h(x)＝ln x－x，x>0，
当01时，h′(x)a时，ln x>ln a，所以m′(x)