第四章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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2.掌握诱导公式，并会简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系： .(2)商数关系： .
sin2α＋cs2α＝1
2.三角函数的诱导公式
同角三角函数的基本关系式的常见变形(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当α为钝角时，cs(π－α)＝cs α.(　　)
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.(　　)
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是
sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
cs(x－π)＝－cs x，故D成立.
题型一　同角三角函数基本关系式
因为tan α＝－3，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cs θ<0，
(3)对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
即cs α－sin α<0，
且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2　(1)化简：
A.－sin θ B.sin θC.cs θ D.－cs θ
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
由－π(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
(2)(多选)下列结论中，正确的是A.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
D.若sin α＋cs α＝1，则sinnα＋csnα＝1
由诱导公式二知当α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，故A错误；
将等式sin α＋cs α＝1两边平方，得sin αcs α＝0，所以sin α＝0或cs α＝0.若sin α＝0，则cs α＝1，此时sinnα＋csnα＝1；若cs α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋csnα＝1，故sinnα＋csnα＝1，故D正确.
由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cs α<0，
2.以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是
sin 2 024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin 224°＝sin(180°＋44°)＝－sin 44°，
4.(2023·天津模拟)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦值和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密.下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等.
则根据该表，416.5°的余弦值为 1 5 6
由题意查表可得sin 33.5°＝sin 33°30′＝0.551 9，可得cs 416.5°＝cs(360°＋56.5°)＝cs 56.5°＝sin(90°－56.5°)＝sin 33.5°＝0.551 9.
∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴tan β＝tan(π－α＋2kπ)
二、多项选择题7.在△ABC中，下列结论正确的是A.sin(A＋B)＝sin C
D.cs(A＋B)＝cs C
在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D错误.
两边平方，可得1＋2sin θcs θ＝t2，
所以f(θ)＝sin θ＋cs θ－sin θcs θ∈(－1,1]，故C错误，D正确.
三、填空题9.(2023·重庆模拟)若sin α＝2cs α，则cs2α＋sin αcs α－sin2α＝ .
由sin α＝2cs α，得tan α＝2，
故sin α＝cs2α，
又因为θ为第一象限角，
14.在①4sin(2 022π＋α)＝－3cs(2 024π＋α)；②sin α＋cs α＝ ；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cs β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题.已知第四象限角α满足 ，求下列各式的值.
若选择条件①：∵4sin(2 022π＋α)＝－3cs(2 024π＋α)，∴4sin α＝－3cs α，
若选择条件②：∵α是第四象限角，∴sin α<0，cs α>0，
若选择条件③：∵α是第四象限角，∴sin α<0，cs α>0，又∵α，β的终边关于x轴对称，
∴sin α＝－sin β，cs α＝cs β.又∵4sin β＝3cs β，∴－4sin α＝3cs α，
cs2A＋cs2B＝cs2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正确.
记sin2x＝m，sin2y＝n，
整理得mn(m＋n－2)＝0，