第十章　§10.2　二项式定理-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

这是一份第十章　§10.2　二项式定理-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习），文件包含第十章§102二项式定理-北师大版2025数学大一轮复习课件pptx、第十章§102二项式定理-北师大版2025数学大一轮复习讲义练习docx、第十章§102二项式定理-北师大版2025数学大一轮复习讲义教师版docx、第十章§102二项式定理-北师大版2025数学大一轮复习讲义学生版docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 .(2)增减性与最大值：
②当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为 ＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.(　　)
2.　　　　的展开式中x2的系数等于A.45　　　B.20　　　C.－30　　　D.－90
因为展开式的通项为Tk＋1＝ 　　 ·x－(10－k)＝ ，
A.1 B.2C.2 023 D.2 023×2 024
因为二项式系数之和为2n＝32，所以n＝5.令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N+)的展开式例1　(1)(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为______(用数字作答).
题型一　通项公式的应用
所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N+)的展开式
破解三项展开式问题求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：(1)两项看成一项，利用二项式定理展开.(2)因式分解，转化为两个二项式再求解.(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.典例　(1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为_______.
所以(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为210.
(2)(1＋2x－3x2)5的展开式中含x5的项的系数为________.
将(1＋2x－3x2)5看作5个因式1＋2x－3x2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x5的来源有：
(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1　(1)(多选)已知 的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是A.n＝10B.展开式中的常数项为45C.含x5的项的系数为210D.展开式中的有理项有5项
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝ ，
此时k＝0,2,4,6,8,10，故有6项有理项，故D错误.
(2)(2024·攀枝花模拟)(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝____.
题型二　二项式系数与项的系数的问题
命题点1　二项式系数和与系数和例3　(1)(多选)已知 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则A.n＝4B.展开式中所有项的系数和为1C.展开式中二项式系数和为24D.展开式中不含常数项
则所有项的系数之和为－1，故B错误；
若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，
(2)(多选)(2023·重庆模拟)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024，则A.展开式中二项式系数最大项为第1 012项B.展开式中所有项的系数和为1
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048
令x＝1，可得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，即展开式中所有项的系数和为1，故B正确；
将等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024两边同时求导可得，2 024×(－2)(1－2x)2 023＝a1＋2a2x1＋…＋2 023a2 023x2 022＋2 024a2 024x2 023，再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048，故D正确.
命题点2　系数与二项式系数的最值例4　已知 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是A.二项展开式中各项系数之和为37B.二项展开式中二项式系数最大的项为C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为240x3
所以2n＝64，则n＝6，
令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误；
第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝ ＝ ，故B错误；
所以二项展开式中的常数项为 ＝60，故C错误；
因为k∈N，所以k＝2.
跟踪训练2　(1)已知(mx＋1)n(n∈N+，m∈R)的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＝8，则a2＋a3＋…＋an等于A.63　　　B.64　　　C.247　　　D.255
因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以n＝8，
所以(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝28＝256，令x＝0，得a0＝1，所以a2＋a3＋…＋an＝256－8－1＝247.
(2)(多选)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则A.a0＝22 025
对于A，当x＝0时，a0＝(－2)2 025＝－22 025，A错误；对于B，C，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝12 025＝1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝－52 025，
题型三　二项式定理的综合应用
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于A.0　　　B.1　　　C.11　　　D.12
因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a
因为512 025＋a能被13整除，
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是　　　　　　　　　
二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
＝12n－2＝(13－1)n－2
(2)利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
A.－1　　　B.1　　　C.－2　　　D.2
令5－2k＝－1，解得k＝3，
2.若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于A.49　　　B.56　　　C.59　　　D.64
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.
3.(x＋2y)5(x－3y)的展开式中x3y3的系数为A.－120　　　B.－40　　　C.80　　　D.200
因为(x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5，
4.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于A.1　　　B.243　　　C.121　　　D.122
令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
5.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是A.120　　　B.－120　　　C.60　　　D.30
方法一　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
方法二　(x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘，含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x，2个(x＋y－2z)中取y，2个(x＋y－2z)中取z，
6.多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展开式中x3的系数为A.6　　　B.8　　　C.12　　　D.13
原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x，和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12.
二、多项选择题7.(2023·长春模拟)已知 的展开式中的第三项的系数为45，则A.n＝9B.展开式中所有项的系数和为1 024C.二项式系数最大的项为中间项D.含x3的项是第7项
＝ ，
令x＝1得展开式中所有项的系数和为210＝1 024，故B正确；
展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；
＝ ＝ ，
所以含x3的项是第7项，故D正确.
8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想B.由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上 的两个数之和”猜想C.第9条斜线上各数之和为55D.在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小
在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D正确.
三、填空题9.若展开式 中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为_____.
＝ ，
11.设(x＋1)(2x2－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a0＋22a2＋24a4＋…＋210a10＝______.
令x＝2，得3×75＝a0＋2a1＋22a2＋…＋211a11，①令x＝－2，得－75＝a0－2a1＋22a2－…－211a11，②
12.写出一个可以使得992 025＋a被100整除的正整数a＝______________.
由题意可知992 025＋a＝(100－1)2 025＋a，
所以－1＋a＝100n(n∈Z)，得a＝100n＋1(n∈Z)，不妨取n＝0，得a＝1.
四、解答题13.已知( ＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；
令x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n，又展开式中二项式系数和为2n.
因为n＝5，所以展开式共有6项，所以二项式系数最大的项为第三、四两项，
(2)求展开式中系数最大的项.
设展开式中第k＋1项的系数最大，
因为k∈N，所以k＝4，
即展开式中系数最大的项为T5＝ ＝ .
14.在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N+)，________.
若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8.若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，
若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，
所以2n－1＝128，解得n＝8.所以(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝0，得a0＝1，
(2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值.
由(1)可知，n＝8，(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，则有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16.
15.(多选)下列结论正确的是
C.若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋ |a10|＝310
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a0－a1＋a2－…＋a10，所以令x＝－1，有(－2－1)10＝a0－a1＋a2－…＋a10＝310，因此|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310，故C正确；
因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(x3－1)2 024，