北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题

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一、单选题
1.在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A.3B.-3C.1D.-1
2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
А.B.
C.D.
3.已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）.
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
4.已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ）
А.B.C.D.
5.已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6.在下列条件中，能使与A，B，C一定共面的是（ ）
A.B.
C.D.
7.在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且知，过的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）
A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1
8.在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点在线段AP上，AC与BD交于点，若平面EFC，则（ ）
A.B.C.D.1
10.如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面正方形ABCD内移动（包含边界），且满足，则线段长度的最大值为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题
11.在空间直角坐标系中，点关于xOy平面的对称点的坐标为_______________.
12.如图：矩形的长为4cm，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为______________cm.
13.已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______________.
14.已知圆锥POP为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，为底面圆周上三点，若空间一动点满足，则的最小值为_____________.
15.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）.若它的所有棱长都为，则以下结论正确的是____________.（填序号）
①平面EAB;
②该二十四等边体的体积为；
③该二十四等边体外接球的表面积为；
④PN与平面EBFN所成角的正弦值为.
三、解答题
16.如图，AB是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周AB上靠近点的三等分点，点在线段PA上.
（1）求圆柱的表面积与体积;
（2）求三棱锥P-ABC的体积;
（3）若D是PB的中点，求的最小值.
17.如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①:;条件②:；条件③:平面.
（1）求证:为的中点;
（2）求直线EM与平面MCD所成角的大小;
（3）求点E到平面MCD的距离.
18.如图，在四棱锥中，平面ABC，且为的外心，.
（1）求证:平面PBO;
（2）若点M在线段PC（不含端点）上运动，设平面平面，当直线与平面ABM所成的角最大时，求二面角的正弦值.
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题参考答案
一、单选题
1.答案:B
解析:因为，所以，解得.故选B.
2.答案:D
解析：因为，所以，即，满足条件的只有选项D，故选D.
3.答案:D
解析:A:，则或，错误;
B:，则或，错误;
，则相交或平行，错误；
D:，则，又，故，正确.故选D.
4.答案:C
解析:因为，所以.又，所以，即，所以，则.所以.又，所以.故选C.
5.解：推不出也推不出，所以""是""的既不充分也不必要条件.
6.答案:C
解析：对于A选项，由于，所以不能得出M，A，B，C共面.
对于B选项，由于，所以不能得出M，A，B，C共面.
对于C选项，由于，则为共面向量，所以M，A，B，共面.
对于D选项，由得，而，所以不能得出M，A，B，C共面.故选C.
7.解:设三棱柱的体积为
侧棱和上各有一动点满足，
四边形与四边形的面积相等.
故四棱锥的体积等于三棱锥的体积等于.
则四棱锥的体积等于.
故过三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2:1
8.解:连接DE，设正四面体ABCD的棱长为2，
因为G，F分别为AC，CD的中点，则，
所以异面直线AE，FG所成角为（或其补角），
在中，则，
由余弦定理可得，
所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为.
9.答案:C
解析:以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可得，则，所以.
设平面EFC的法向量为，则即
解得令，则.
所以平面EFC的一个法向量为.
因为平面EFC，所以.
设，则，所以.
解得，所以，即.故选C.
10.答案:B
解析:依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，
所以，
则，则，所以，即.
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.故选B.
二、填空题
11.答案:
解析:点关于xOy平面的对称点的坐标为.
12.解：由斜二测画法知：与轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变；与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.
还原出原图形如图所示的平行四边形，
其中，
，所以原图形的周长为.
13.答案:且
解析：因为，所以.因为向量与的夹角为锐角，所以
，解得.当时，，解得，所以实数的取值范围为且.
14.答案:
解析:因为，
所以，即，
所以共面.
又A，B，C为底面圆周上三点，所以点为平面ABC上一点.
由题意知平面ABC，
所以，又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，所以的最小值为.
15.答案:②③④
解析:将几何体补成正方体，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
对于①，，
所以，则，故①错误;
对于②，该二十四等边体是在正方体上截去8个全等的三棱锥而成，
且三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为1，
故该二十四等边体的体积，故②正确;
对于③，易知正方体的中心为该二十四等边体外接球的球心，且该球的半径为，
因此，该二十四等边体外接球的表面积为，故③正确；
对于④，易知平面EBFN的一个法向量为，所以，
所以，故PN与平面EBFN所成角的正弦值为，故④正确.故答案为②③④.
三、解答题
16.解:（1）圆柱的底面直径，故半径，且高，
可得圆柱的表面积为，
圆柱的体积为.
（2）因为点是圆柱底面圆周AB上靠近点A的三等分点，且，而为直角三角形，
从而，得，
所以.
（3）将平面PAC绕PA旋转到和平面PAB共面，此时点在BA的延长线上，设为点，可得，即当三点共线时，取最小值，
由题意，
所以，
故的最小值为.
17.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解析：（1）证明：选条件①:由MA=MC，
根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立;
选条件②:.
连接，在正方体中，由平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为平面，所以，
又因为为BC的中点，所以为的中点.
选择条件③:平面.
连接，因为平面平面，
且平面平面，所以，
因为为BC的中点，所以为的中点.
（2）在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则，
所以，
设平面MCD的法向量为，则，
令，则.于是，
设直线EM与平面MCD所成的角为，则，
所以直线EM与平面MCD所成角的大小为，
（3）点到平面MCD的距离为.
18.解析：（1）证明：如图所示，连接OC，
因为O为的外心，所以，又因为，
所以.
所以，
所以均为等边三角形，
所以，四边形OACB为菱形，所以.
又平面平面PBO，
所以平面PBO.
（2）记，
因为平面平面PAO，所以平面PAO.
又因为平面平面平面PBC，所以.如图所示，
以为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，
过点且平行于OP的直线为轴建立空间直角坐标系.
因为，所以，
则，
所以.
因为点在线段PC（不含端点）上运动，设，
所以.
设平面ABM的法向量为，则有
所以
令，则，所以，
设直线与平面ABM所成的角为，则
当且仅当，即时取等号，即为PC中点时，直线与平面ABM所成的角最大，
所以.又.
设平面OBM的法向量为，
则有即
令，则，所以.
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为.