山东省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学

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高一数学试题
2024.11
（必修第一册阶段检测）
说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第2页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.
考试时间120分钟
第I卷（选择题58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．命题，，则命题的否定形式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若，函数最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
4．若幂函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．或4B．C．4D．2
5．“”的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
7．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则（ ）
A．的周期为4
B．的图象关于对称
C．
D．当时，
第II卷（非选择题 92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若函数的定义域为，则的定义域为 .
13．若正实数x，y满足，则的最小值为 .
14．已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设集合，.
(1)当时，求与；
(2)当时，求实数的取值范围.
16．已知定义域为上的奇函数满足当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值及对应的值.
17．已知二次函数.
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当，时，求的最大值.
18．已知函数.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.
1．B
【分析】根据指数函数单调性求集合B，进而可求交集.
【详解】由题意可得：，
且，所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3．C
【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数最小值为.
故选：C.
4．C
【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.
【详解】若幂函数，则，解得或，
且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故.
故选：C．
5．A
【分析】分析可知：是选项中对应集合的真子集，逐项分析判断即可.
【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集，
结合选项可知只有选项A符合.
故选：A.
6．D
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解．
【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误；
对于BCD，是方程的两个根，
所以，
所以，，
，故BC错误，D正确；
故选：D．
7．C
【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
【详解】对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．B
【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意.
【详解】解法一：一方面，取满足题意，则；
另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！
综上所述，正整数的最大值为7.
解法二：，则，又，即若，内的数均不属于，
若，则，则，又，矛盾，
所以，当时，符合，所以．
故选：B.
9．BC
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A错误；
对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B正确；
对于C，函数定义域为R，，是偶函数，
且当时，，则其在上单调递增，C正确；
对于D，因为，，则，不是偶函数，D错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解.
【详解】由已知可得，
对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立.
对于B项，，因为，所以，
当时，，即，故B项不一定成立.
对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立.
对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立.
故选：ACD
11．ABC
【分析】根据已知推得的周期为4，且、分别是对称轴和对称中心判断A，进而有判断B；利用周期性求函数值判断C；求得、，待定系数法求函数中参数值，再由周期性求上解析式判断D.
【详解】由的图象关于对称，即的图象关于对称，
所以，又，故，
所以，且的一条对称轴为，
即的周期为4，且、分别是对称轴和对称中心，A对；
所以，即，关于对称，B对；
，C对；
若，则，即，
又，，即，
所以，
则，可得，故，
所以时，D错.
故选：ABC
12．
【分析】根据抽象函数定义域分析求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
即，可得，
所以的定义域为.
故答案为：.
13．8
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，
当且仅当时取等号，故最小值为8.
故答案为：8
14．
【分析】根据解析式画出大致图象，结合的性质研究临界情况下参数值，数形结合确定参数范围.
【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下：

而恒过定点，
当与在处相切时，有仅有一个解，
所以，此时，
当过时，，此时，
结合图象，知时，交点至少两个.
故答案为：
15．(1)，；
(2).
【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求集合；
（2）根据题意有，讨论集合B，列对应不等式求参数范围.
【详解】（1）由，，
所以或，则，.
（2）由题意，若，则，可得，
若，则且，可得，
综上，实数的取值范围是.
16．(1)
(2)当时，;当时，.
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）对进行分类讨论，根据二次函数的单调性求得最值.
【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数，
则，
∴，
设，则，
∴，
所以.
（2）当时，由二次函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，可得此时；
当时，由二次函数的性质得在上单调递增，
所以，可得此时，
综上，当时，；当时，.
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案.
（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1），
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
（2）当，对称轴为，
区间中点为，比较与的关系，
①当，即时，；
②当，即时，；
综上可得.
18．(1)为奇函数，证明见解析；
(2)在上的单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用奇偶性定义证明；
（2）利用单调性定义证明；
（3）根据（1）（2），将不等式化为在上恒成立，分类讨论并结合二次函数性质求参数范围.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由解析式知，函数定义域为R，且，
所以为奇函数；
（2）在上的单调递增，证明如下：
令，则，
，而，，
所以，即在上的单调递增.
（3）由（1）（2）知：在R上单调递增，且，
所以，
故，即在上恒成立，
当时，有，满足题设；
当时，则，
综上，.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用复合函数的单调性及指数函数值域求的值域；
（2）只需证明，即可证结论；
（3）根据（2）结论有，令得，结合题设条件有，即可求参数范围.
【详解】（1）由复合函数的单调性，易知在R上单调递减，
由指数函数性质知，，即，故；
（2）由，即，故关于中心对称，得证；
（3）由（2）及，知，
对于，以为主元且，则在上递减，
所以，问题化为任意，都有，
只需，则，则，又，
所以，即参数n的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第三问，问题化为任意，使为关键.