重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试卷（Word版附答案）

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一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 ,则 的虚部为
A. B. C. D.
3. 在平行四边形 中, 为 的中点,记 ,则
A. B. C. D.
4. 在素数研究中, 华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式, 孪生素数是指相差为 2 的素数对, 例如 3 和 5,5 和 7 等. 从不超过 20 的素数中随机抽取 2 个, 则这 2 个数是孪生素数的概率为
A. B. C. D.
5. 记 为数列 的前 项和. 若 ,则
A. -63 B. -127 C. -256 D. -512
6. 若 ,且 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
7. 设 是定义在 上的连续函数 的导函数, ( 为自然对数的底数),且 ,则不等式 的解集为
A. B. D.
8. 已知 ,则关于 的方程 的实根个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9.下列说法中, 正确的是
A. 对于独立性检验,随机变量 的值越大,则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
B. 若 ,则
C. 随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
D. 数据4,3,2,5,6,7的 分位数为 4
10. 在 中,内角 所对的边分别为 ,其中 ,且
,若 边上的中点为 ,则
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 已知 ,且 ,则
A. B.
C. 无最小值,只有最大值为 4 D. 的最小值为 12
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知单位向量 的夹角为 ,若 ,则 _____.
13. 已知函数 在区间(1,2)上单调递减,则 的最大值为_____.
14. 已知函数 的定义域为 ,则
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知数列 满足: ,且 .
(1) 求证: 数列 是等比数列;
(2)求数列 的前 项和 .
16. (15 分) 已知 分别为 三个内角 的对边,且
(1) 求 ;
(2)若 ,试讨论当 取不同值时, 解的个数.
17. (15 分) 统计显示, 我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势, 下表为 2019 年-2023 年我国在线直播生活购物用户规模 (单位: 亿人), 其中 2019 年-2023 年对应的代码依次为 1-5 .
参考数据: ,其中 .
参考公式: 对于一组数据 ,其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 .
(1) 由上表数据可知,若用函数模型 拟合 与 的关系,请估计 2027 年我国在线直播生活购物用户的规模 (结果精确到 0.01);
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为 ,现从我国在线直播购物用户中随机抽取 5 人,记这 5 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 ,若 ,求 的数学期望和方差.
18. (17 分) 已知函数 .
(1) 当 时,函数 的极值为 10,求 和 的值;
(2)设 ,若 ,对于任意的 ,都有 恒成立,求 的最小值.
19. (17 分) 已知数列 ,记集合
(1) 若 ,当 ,即 时,写出集合 ;
(2) 若 ,是否存在 ,使得 ? 若存在,求出一组符合条件的 ; 若不存在,说明理由;
(3) 若 ,把集合 中的元素从小到大排列,得到的新数列为: ,若 ,求 的最大值.年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36