专题05 幂函数与二次函数4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测
展开1、幂函数的定义
一般地,(为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1; ②的底数是自变量; ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质:
4、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:;
(2)顶点式:;其中,为抛物线顶点坐标,为对称轴方程.
(3)零点式:,其中,是抛物线与轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线,对称轴方程为,顶点坐标为.
(1)单调性与最值
①当时,如图所示,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;
②当时,如图所示,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,
(2)与轴相交的弦长
当时,二次函数的图像与轴有两个交点和,.
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数,当时,在区间上的最大值是,最小值是,令:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,则.
一、单选题
1.(2024高一·全国·假期作业)关于x的方程有两个实数根,,且,那么m的值为( )
A.B.C.或1D.或4
2.(2024·山东)关于函数,以下表达错误的选项是( )
A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线
C.函数的单调递减区间是D.函数图象过点
3.(2024·浙江)若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关
4.(2024·新疆阿勒泰·三模)已知函数则函数,则函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
5.(2024·湖南娄底·模拟预测)已知函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6.(2024·海南·模拟预测)已知函数,,的图象如图所示,则( )
A.B.
C.D.
7.(2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习)已知函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B.C.D.
8.(2024高三·河北·专题练习)设,二次函数的图象为下列之一,则的值为( )
A.B.C.D.
9.(2024高三下·河南新乡·开学考试)已知函数若的最小值为6,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10.(2024·全国·模拟预测)已知x,,满足,,则( )
A.-1B.0C.1D.2
11.(2024·贵州毕节·二模)已知,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
12.(2024高三·全国·专题练习)已知a,b,c∈R,函数f (x)=ax2+bx+c.若f (0)=f (4)>f (1),则( )
A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0
13.(2024·浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
14.(2024高三·全国·专题练习)如果函数在区间上单调递减,则的最大值为( )
A.16B.18C.25D.
15.(2024·陕西)对二次函数(为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结
论是错误的,则错误的结论是
A.是的零点B.1是的极值点
C.3是的极值D.点在曲线上
16.(2024·四川乐山·一模)已知幂函数和,其中,则有下列说法:
①和图象都过点;
②和图象都过点;
③在区间上,增长速度更快的是;
④在区间上,增长速度更快的是.
则其中正确命题的序号是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
17.(2024·河北衡水·模拟预测)已知幂函数是定义在区间上的奇函数,则( )
A.8B.4C.2D.1
18.(2024·北京东城·一模)下列函数中,定义域与值域均为R的是( )
A.B.C.D.
二、多选题
19.(2024·江苏·模拟预测)若函数,且,则( )
A.B.
C.D.
20.(2024·吉林长春·模拟预测)已知幂函数图像经过点,则下列命题正确的有( )
A.函数为增函数B.函数为偶函数
C.若,则D.若,则
21.(2024高一上·重庆·阶段练习)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是( )
A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0
22.(2024高一上·湖南长沙·期中)设二次函数的值域为,下列各值(或式子)中一定大于的有( )
A.B.
C.D.
三、填空题
23.(2024高一上·全国·期末)已知幂函数的图象关于原点对称,则满足成立的实数a的取值范围为 .
24.(2024高一上·四川眉山·期中)下面命题:①幂函数图象不过第四象限;②图象是一条直线;③若函数的定义域是,则它的值域是;④若函数的定义域是,则它的值域是;⑤若函数的值域是,则它的定义域一定是.其中不正确命题的序号是 .
25.(2024高三上·河北衡水·周测)已知,,若对,,,则实数的取值范围是 .
26.(2024高三上·福建三明·期中)已知,则实数的取值范围是
27.(2024高三下·上海嘉定·阶段练习)已知函数,若函数的值域为,则实数的取值范围为 .
28.(2024高三·全国·专题练习)不等式的解集为: .
29.(2024高一上·全国·课后作业)已知幂函数,若,则a的取值范围是 .
30.(2024·上海闵行·一模)已知二次函数的值域为,则函数的值域为 .
31.(2024·贵州毕节·模拟预测)写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数 .
①在上恒成立;②是偶函数;③.
32.(2024·新疆阿勒泰·一模)已知二次函数(a,b为常数)满足,且方程有两等根,在上的最大值为,则的最大值为 .
33.(2024·湖北)为实数,函数在区间上的最大值记为. 当 时,的值最小.
四、解答题
34.(2024高三下·上海浦东新·阶段练习)已知.
(1)若,,解关于的不等式;
(2)若,在上的最大值为,最小值为,求证:.
35.(2024高一下·贵州黔东南·开学考试)已知函数是定义在上的奇函数,且时,,.
(1)求在区间上的解析式;
(2)若对,则,使得成立,求的取值范围.
36.(2024高一上·河南平顶山·期末)已知函数.
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数;
(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
37.(2024高一上·贵州毕节·期末)已知函数.
(1)当时,解关于x的不等式;
(2)函数在上的最大值为0,最小值是,求实数a和t的值.
38.(2024高一上·辽宁大连·期中)已知值域为的二次函数满足,且方程的两个实根满足.
(1)求的表达式;
(2)函数在区间上的最大值为,最小值为,求实数的取值范围.
39.(2024高三上·全国·阶段练习)已知函数为偶函数.
(1)求的值;
(2)设函数,是否存在实数,使得函数在区间上的最小值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
40.(2024高一上·湖南衡阳·期末)二次函数为偶函数,,且恒成立.
(1)求的解析式;
(2),记函数在上的最大值为,求的最小值.
41.(2024高三·全国·专题练习)已知函数,当时,设的最大值为,求的最小值.
42.(2024高一上·广东·期中)已知函数,
(1)当时,①求函数单调递增区间;②求函数在区间的值域;
(2)当时,记函数的最大值为,求的最小值.
43.(2024高一上·山东潍坊·阶段练习)已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
44.(2024高一上·安徽·阶段练习)已知函数,且函数的值域为.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式在上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程有三个不同的实数根,求实数k的取值范围.
45.(2024高三上·江西鹰潭·阶段练习)已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值;
(2)若函数在上不单调,求实数的取值范围.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减,在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
(一)
幂函数的定义及其图像
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下:
①当时,其图象可类似画出;
②当时,其图象可类似画出;
③当时,其图象可类似画出.
题型1:幂函数的定义及其图像
1-1.(2024·江西·模拟预测)已知幂函数的图象过点,则( )
A.0B.2C.4D.5
1-2.(2024高三·河北·学业考试)已知幂函数的图象过点,则的值为( )
A.2B.3C.4D.9
1-3.(2024高一下·湖北宜昌·期中)已知函数 且 的图象经过定点, 若幂函数 的图象也经过该点, 则 .
1-4.(2024高一·全国·课后作业)已知幂函数(且互质)的图象关于y轴对称,如图所示,则( )
A.p,q均为奇数,且
B.q为偶数,p为奇数,且
C.q为奇数,p为偶数,且
D.q为奇数,p为偶数,且
1-5.(2024高一上·陕西西安·期中)幂函数中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为( )
A.B.C.D.
(二)
幂函数性质的综合应用
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减,在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
题型2:幂函数性质的综合应用
2-1.(2024高一上·上海杨浦·期末)已知,若幂函数奇函数,且在上为严格减函数,则 .
2-2.(2024高三上·宁夏固原·期中)已知函数是幂函数,且在上递减,则实数( )
A.B.或C.D.
2-3.(2024·海南·模拟预测)已知为幂函数,则( ).
A.在上单调递增B.在上单调递减
C.在上单调递增D.在上单调递减
2-4.(2024·江苏)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是 .
2-5.(2024高三·全国·课后作业)已知幂函数(m为正整数)的图像关于y轴对称,且在上是严格减函数,求满足的实数a的取值范围.
(三)
二次方程的实根分布及条件
一般情况下需要从以下4个方面考虑:
(1)开口方向;(2)判别式;(3)对称轴与区间端点的关系;(4)区间端点函数值的正负.
题型3:二次方程的实根分布及条件
3-1.(2024高三·全国·阶段练习)方程的一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
3-2.(2024高三·全国·专题练习)关于的方程有两个不相等的实数根,且,那么的取值范围是( )
A.B.
C.D.
3-3.(2024高一·江苏·课后作业)设a为实数,若方程在区间上有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( ).
A.B.
C.D.
(四)
二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
(1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法,特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间,解法是抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论,往往分成:①轴处在区间的左侧;②轴处在区间的右侧;③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系),从而对参数值的范围进行讨论.
(2)对于二次方程实根分布问题,要抓住四点,即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型4:二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
4-1.(2024高一上·海南·期中)已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值;
(2)若不等式 当上恒成立,求实数k的取值范围.
4-2.(2024·浙江)设函数.
(1)当时,求函数在上的最小值的表达式;
(2)已知函数在上存在零点,,求的取值范围.
4-3.(2024高一上·海南·期末)已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值;
(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若且方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
4-4.(2024·浙江)已知函数,记是在区间上的最大值.
(1)证明:当时,;
(2)当,满足,求的最大值.
4-5.(2024高一上·浙江·阶段练习)已知函数.
(1)当时,解方程;
(2)当时,记函数在上的最大值为,求的最小值.
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