专题08 函数的图象6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
二、函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数与的图像关于对称．
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
一、单选题
1．（2024·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
2．（2024·重庆·模拟预测）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.
【详解】因为，令，则，
即，解得，或，解得，
所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，
所以排除AD；
当时，，
则，当时，，
所以当时，，函数单调递增，所以B正确；
故选：B.
3．（2024·安徽安庆·二模）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入特殊点及结合函数的性质分析即可.
【详解】由解析式可得，，排除A；
观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而，
说明不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由可排除C，即可得到结果.
【详解】因为，其定义域为，所以，
所以为偶函数，排除选项A，D，
又因为，因为，所以，所以，排除选项C.
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图像知函数是偶函数，并且在轴右侧先减后增，且时函数值大于0，然后根据这些特点对每个选项中的函数逐一判断即可.
【详解】由题图，知函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故排除A；
对于B，，虽然函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，但，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为，所以函数是偶函数，但，与图像不吻合，排除D；
对于C，函数为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当时，，，
令，求导，得．当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得最大值．
又因为，，，所以，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，与图像吻合.
故选：C．
6．（2024·河北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图象得故排除AC选项；对D选项根据极值点个数排除；分析B项满足.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D选项错误．
对于B选项，，；
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
依次类推可知函数值有正有负；
显然不单调；
因为当时，所以有多个零点；
因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.
故选：B．
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数图象的对称性即奇偶性排除一个选项，再利用函数值的大小排除2个选项后可得．
【详解】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D；
又选项C中函数满足，与图象不符，排除C；
选项A中函数满足，与图象不符，排除A，
只有B可选．
故选：B．
8．（2024·山东滨州·二模）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】由图象分析函数奇偶性，特殊位置，及函数定义域即可.
【详解】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以得：，故C错误；
由图象可知，故D错误；
因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.
故选：A
9．（2024·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.
【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A
10．（2024高一上·江西鹰潭·期末）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．（2024高一上·黑龙江·期中）列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过离A地300 km的C地，假设列车匀速前进，5 h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查列车行驶速度，则小时后可到达地，排除法即可.
【详解】∵列车匀速前进，
∴列车行驶速度
∴列车后到达C地，
此时距离C地0 km，
即函数图象经过点，
由此可排除A、B、D，知C正确，
故选：
12．（2024高三·全国·专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，）和（，π）上f（x）的符号，再分析f（x）的对称性，排除BCD，即可得答案．
【详解】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，
故选：A
13．（2024·重庆·模拟预测）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时间t的函数关系式即可判断得解.
【详解】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点，水面半径，此时水面高度，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，
令水匀速注入的速度为，则注水时间为t时的水的体积为，
于是得，
而都是常数，即是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是，，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
14．（2024·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.
【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
故选：A.
15．（2024·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【详解】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
16．（2024高二下·福建泉州·期中）已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定的图象，然后根据图象变换确定各选项．
【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．
当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．
故选：D．
17．（2024·江西南昌·一模）函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
【详解】先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
如图所示：

故答案为C
【点睛】本题主要考查函数图像的作法和函数图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析图像能力.
18．（2024·天津）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
19．（2024·全国）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
20．（2024·全国）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
21．（2024·四川·模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.
【详解】因为，，
则，
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；
又，由于，所以，故排除B；
故选：A
22．（2024·天津滨海新·三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取特值排除即可.
【详解】因为，故A、C错误；
又因为，故B错误；
故选：D.
23．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令，可知；结合函数图像及解析式可求得的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.
【详解】函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个，
故选：A.
24．（2024高二下·四川成都·期中）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.
【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；
函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；
解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.
故选：A.
25．（2024·浙江·三模）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设，则有，
是奇函数，排除D；
，排除B；
当时，，排除C；
故选：A.
26．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图是函数图象的一部分，设函数，，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性结合定义域分析判断.
【详解】因为，
所以为偶函数，为奇函数.
可知，为非奇非偶函数，，为奇函数，
由图可知：为奇函数，故A、C错误；
由于，令，可得，
故的定义域为.
又因为的定义域为，所以D错误；
故选：B.
27．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】方程恰有三个不相等的实数根可转化为与的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.
【详解】作出与的图象，如图，
当时，设与相切于点，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点.
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.
故选：A
28．（江苏省扬州市邗江区2023-2024学年高一上学期期中数学试题）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据函数的奇偶性以及函数的解析式判断出正确答案.
【分析】的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以A选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，令，解得，所以B选项错误.
所以正确的是D.
故选：D
29．（2024·陕西）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
30．（2024·浙江）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
31．（2024·天津）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
32．（2024高二下·福建厦门·期中）函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
33．（2024高一上·辽宁·阶段练习）现有四个函数：；；；（其中是自然对数的底数，），它们的部分图像如下图所示，则对应关系正确的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】D
【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可
【详解】已知，其为偶函数，所以关于轴对称，所以满足条件的为②图像；
过点，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；
已知，由于，所以为奇函数，故其关于原点对称，
因为是上的增函数，是上的减函数，所以是上的增函数，
所以满足条件的为①图像；
过点，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；
综上所述①，②，③，④.
故选：D
34．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点，
即可解出.
【详解】由指数函数的图象可知：.
令，解得，
则，
对应只有B选项符合题意.
故选：B
35．（2024·甘肃酒泉·模拟预测）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊点验证排除选项即可求解.
【详解】由已知得，排除选项D，
，排除选项B，
，排除选项A，
故选：C.
36．（2024·全国·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过函数的奇偶性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案．
【详解】记，其定义域为，
所以，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D，
，故C错误，A正确．
故选：A．
37．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求函数的定义域，证明函数为偶函数，排除CD，再证明当时，，排除B，由此可得结论.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以为偶函数，排除选项C，D；
当时，，所以，则，
所以，排除B．
故选：A.
38．（重庆市南开中学校2024届高三上学期7月月考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性及在轴右侧的第一个零点与1的距离关系分析判断.
【详解】由图可知，是奇函数，在轴右侧的第一个零点与1的距离小于1.
对于A，的定义域为，
，
则为偶函数，故A不符合；
对于B，的定义域为，
，则为奇函数，
在轴右侧的第一个零点是，而，故B不符合；
对于C，的定义域为，
，则为奇函数，
在轴右侧的第一个零点是，且，故C符合；
对于D，的定义域为，
，
则为偶函数，故D不符合.
故选：C.
39．（2024高二下·吉林·期中）为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）．
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】分析：函数化成：，利用函数的平移变换可得结果.
详解：∵函数化成：，
∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
故选．
点睛：本题主要考查指数的运算以及函数的“平移变换“，属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.
40．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
41．（2024·北京）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
42．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集.
【详解】根据题意当时,，
当时, ,
作出函数的图象如图，
在同一坐标系中作出函数的图象，
由图象可得不等式解集为，
故选：C
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.
43．（2024·天津）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
本题选择A选项.
44．（2024·天津）对实数a与b，定义新运算： 设函数若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出解析式，画出图像即可求解
【详解】令，解得，
所以当时，，作出函数的图象，如图，
若的图象与轴恰有两个公共点，及直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得.
故选：B
45．（2024高一下·陕西安康·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解.
【详解】
设幂函数的解析式为
由幂函数的图象过点，解得
，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意.
故选：C
46．（2024高二下·福建·学业考试）图象中，最有可能是的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.
【详解】函数的定义域为，因此函数的图象总在y轴右侧，选项ABD不满足，C满足.
故选：C
47．（2024高三上·江苏常州·阶段练习）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．
【详解】由函数，
可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；
在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，
结合所给的选项，只有B项满足条件，
故选：B．
48．（2024高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，且，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得到，由开口方向和特殊点的函数值得到答案.
【详解】由且，得，所以函数图象开口向上，排除A，C；
又，排除B.
故选：D.
49．（2024高二下·福建三明·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
【详解】设幂函数为，则，，得，得，
所以，定义域为，所以排除AD，
因为，所以函数为偶函数，所以排除B，
故选：C
50．（2024高二·福建）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）

A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为．
故选：D．
51．（2024·河北·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用条件，变形化简得到，再逐一对各个选项图形分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，
选项A，因为，又，所以，故，根据图形知，选项A错误；
选项B，因为，所以，即不是偶函数，选项B错误；
选项C，因为，又，所以，故，根据图形知，选项C错误；综上可知选项D符合题意.
故选：D.
52．（2024·四川成都·模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】
根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.
【详解】由向右平移个单位，则.
故选：D
53．（2024高一下·湖南长沙·期末）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值的正负，再排除选项，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
由，
则为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，
又，故排除B，
故选：D.
54．（2024高三·全国·对口高考）如图所示，A是函数的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数的图象于点B，若函数的图象上存在点C使得为等边三角形，则称A为函数上的好位置点．函数上的好位置点的个数为（ ）

A．0B．1C．2D．大于2
【答案】B
【分析】设点，的坐标分别为，，由条件求点的坐标，列方程求即可.
【详解】设点，的坐标分别为，，
则，，
所以，
因为为等边三角形，且，
所以点的横坐标为，
又点在数的图象上，
所以点的纵坐标为，
由已知，
所以，所以，
所以点的坐标为.
故选：B.
55．（2024高三上·贵州贵阳·期末）在这四个函数中，当时，使得不等式成立的函数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】依题意可得在内是上凸函数，结合基本初等函数的图象判断即可.
【详解】满足为上凸函数，如图：

分别考虑四个函数在上的图象，
如下图，因为在上是上凸函数，故正确；

如下图，在上不是上凸函数，故错误；

如下图，在上是上凸函数，故正确；

如下图，在上是上凸函数，故正确；

故选：D.
二、多选题
56．（2024·湖北·模拟预测）函数在,上的大致图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据的取值分类讨论，作出函数的大致图象，研究函数性质后判断图象.
【详解】①当时，，，函数为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意；
②当时，令，作出两函数的大致图象，
由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；
当时，，时，，
若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意；
若在内有两交点，同理得B选项符合题意.
故选：ABC.
57．（2024·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函数的单调性和奇偶性，通过对进行分类讨论，得出的单调区间和奇偶性，再逐一对各个选项即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得，故定义域为.
，，
因为时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增.
当时，，此时为奇函数，故选项B正确；
当时，，易知其图像为选项D，故选项D正确.
当时，由，得，又，
所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确；
当时，，此时为偶函数，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确，
故选：BCD.
58．（2024·福建泉州·模拟预测）函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】首先判断函数的奇偶性，再分、、三种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】因为与均为偶函数，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B；
当时的定义域为，
且当时，此时，当或时，
由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可，
当时，
方程的两根为，，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递减，在单调递增，故A正确；
当时的定义域为，由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可，
即，，所以，
则时，时，
则在上单调递减，在上单调递增，故D正确；
当时的定义域为，由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可，
此时，
对于函数，与轴交于正半轴，对称轴为，开口向上，无论是否与轴有交点，
函数在靠近处函数值均大于，即，此时函数单调递增，故C错误；
故选：AD
59．（2024·浙江·模拟预测）已知是定义在上的单调函数，对于任意，满足，方程有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BCD
【分析】由题知为常数，令，由求得，
结合奇偶性将问题转化为与图象在上仅有两个不同交点，
分析函数图象验证的取值是否满足.
【详解】因为是定义在上的单调函数，对于任意，满足，
所以为常数，令，则且，
即，此方程有唯一的根，故，
因为为偶函数，方程有且仅有4个不相等的实数根，当且仅当方程在上有且仅有两个不相等的实数根，
即在上有且仅有两个不相等的实数根，
方程根的个数可看成与图象交点个数，
当时，方程无根，故不满足；
当时，方程两根分别为，故满足；
当时，此时直线比更陡，故有两个交点，所以时满足；
故选：BCD
60．（2024·全国·模拟预测）若，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．
D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】由题意求出，作出图象，即可求解
【详解】由，可知，，
可知关于直线对称，当时，，
当时，，，
所以，
作出的图象，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
，不是奇函数，故ABD错误，C正确；
故选：ABD
61．（2024高一上·广东深圳·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A．实数的取值范围为B．
C．D．的最大值为
【答案】AC
【分析】画出的图象，数形结合得到，且，关于，，再运用基本不等式求出的最大值，得到AC正确.
【详解】画出的图象，如下：
要想与有三个不同的交点，需要，A正确；
由题意可知，且关于对称，
故，B错误，C正确；
则，解得：，当且仅当时等号成立，
但，故等号取不到，
故，D错误，
故选：AC.
62．（2024高三上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）.

A．函数是奇函数
B．对任意，都有
C．函数的值域为
D．函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据题意，整理函数关系并作图，根据图象，可得答案.
【详解】由题意得，当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：

此后依次重复，所以函数是以为周期的周期函数，由图象可知，函数为偶函数，故A错误；
因为以为周期，所以，
即，故B正确；
由图象可知，的值域为，故C正确；
由图象可知，在上单调递增，因为以为周期，所以在上的图象和在上的图象相同，即单调递增，故D正确．
故选：BCD.
63．（2024高一上·重庆·期中）已知函数，且的对称中心为，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是B．在上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在上的函数值大于0
【答案】AC
【分析】根据函数的性质以及时，可得函数的部分图象，进而结合图象即可求解.
【详解】根据可得为偶函数，对称中心为，可知的图象关于对称，结合时，，可画出的部分图象如下：
有图象可知：的最小值是，在上单调递增，的图像关于直线对称，在上的函数值小于于0，故AC正确，BD错误，
故选：AC
【点睛】本题主要考查了函数的性质 ，函数与方程等知识点，处理这类问题往往可以采用数形结合法：根据函数的对称性以及单调性画出函数的图象，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)辅助解题.
64．（2024高一下·江苏常州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上是单调递增
B．函数在上是单调递增
C．当时，函数有最大值
D．当或时，函数有最小值
【答案】BD
【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．
【详解】，作出函数的图象如下：
由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增，故A错误，B正确；
由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，故C错误，D正确；
故选：BD．
三、填空题
65．（2024·上海浦东新·模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数 .
【答案】
【分析】关于的方程恰有两个不同的实数解，可转化为函数与有两个交点，因，故，结合图象，两个函数在时有1个交点，故两个函数在有且只有一个交点，故与相切，可得.
【详解】
如图，显然.
当时，由单调性得，方程有且仅有一解.
因此当时，方程也恰有一解.
即为函数的切线，
，
令得，
故当时，，
得，即
从而.
故答案为：
66．（2024高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 .
【答案】
【分析】分类讨论的不同取值，并作出的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解.
【详解】，
当时，，
此时无解，不满足题意；
当时，设，
则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，
此时方程均无解，
即方程无解，不满足题意；
当时，设，则与的图象大致如下，
则则对应的2个根为，
若方程恰有三个不相等的实数解，
则与函数的图象共有3个不同的交点，
①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，所以，解得；
②当时，与函数的图象共有2个交点，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，与矛盾，不合题意；
③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，所以，解得；
综上，的取值集合为，
故答案为: .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于作出函数的图象，将方程恰有三个不相等的实数解转化为两条横线与函数图象的图象的交点的个数共计3个，数形结合思想求解.
67．（2024·河南·模拟预测）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，根据，可得依此类推，作出函数的图象，结合图象即可求解．
【详解】因为当时，，所以，
因为，当时，即时，
由，所以，
同理可得
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：当时，令，则，
对任意，都有，则
故的取值范围为，
故答案为：
68．（2024·四川绵阳·二模）若函数，，则函数的零点个数为 ．
【答案】5
【分析】令，则有,即有，再分，和三种情况，利用图象求解的零点个数即可.
【详解】解：令，则有，
所以，
当时，则有，
即,
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当时，有2个零点；
当时，则有，
即，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当时，有2个零点；
当时，，
此时，有1个零点为，
综上所述，共有5个零点.
故答案为：5
69．（2024高三上·山东烟台·期中）已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出的图象，数形结合解决问题
【详解】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意

故答案为：
四、解答题
70．（2024高三·全国·对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)图象见详解
(2)图象见详解
(3)图象见详解
(4)图象见详解
(5)图象见详解
(6)图象见详解
【分析】先作出函数的图象，
（1）把的图象关于轴对称即可得到的图象；
（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称即可得到的图象；
（3）把图象向下平移一个单位即可得到的图象；
（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折即可得到的图象；
（5）把图象关于轴对称即可得到的图象；
（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象．
【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，

（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图，

（3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，

（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图，

（5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，

（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，

71．（2024·全国）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
72．（2024·江西南昌·二模）已知．
(1)在给出的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若在上恒成立，求的最小值．
【答案】(1)图象见解析
(2)3
【分析】（1）化简为分段函数形式，作图即可；
（2）结合函数和的图象，分，，与四种情况讨论，结合图象及基本不等式求解．
【详解】（1）
其图象如下图所示：
（2）由（1）知函数与轴的交点为和，
结合函数和的图象可以知道，
当时，当或或时，由图可知在上不可能恒成立；
当时，，而的值有负数，可知在上不可能恒成立；
当时，只需，则在上恒成立，此时，
当时，过点且斜率为的直线方程为，
令，则，要在上恒成立，则，
此时，当且仅当时等号成立．
综上：的最小值为3．
73．（2024高三·全国·专题练习）作出下列函数的图像：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）根据反比例函数结合函数的平移即可画出图像;
（2）根据二次函数结合绝对值及翻折即可得出函数图像;
（3）根据指数函数的图像结合对称性即可画出图像;
（4）根据对数函数的图像结合对称性即可画出图像;
【详解】（1）函数，则其图像可看作由反比例函数的图像，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图像如图示：
（2）设，其图像如图：
（3）设，其图像可看作由函数的图像向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
而，其图像可由的图像保留时的图像，然后将该部分关于y轴对称得到，
则图像如图示：
（4）设，则其图像可由的图像向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
（一）
由解析式选图（识图）
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型1：由解析式选图（识图）
1-1．（四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期五月阶段测试数学（文科）试题）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.
【详解】由函数，令，即，解得或，
所以当或时，；当时，，可排除A、C项；
又由，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则可排除B项，选项D符合题意.
故选：D.
1-2．（2024高二下·云南保山·期末）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，时，，，
所以，所以，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．
故选：A.
1-3．（2024高二下·湖北·期末）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性排除D，再取特值排除AB.
【详解】因为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，故D错误；
因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
故选：C.
1-4．（2024·全国）已知函数,则的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，则，∴在上为增函数,在上为减函数，∴，，得或均有排除选项A，C，又中,，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.
考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.
1-5．（2024高三下·河南·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的特殊值、奇偶性、单调性排除可得.
【详解】当时，，排除A选项；
因为，所以为偶函数，排除C；
当时，，
时，，所以在区间单调递增；
因为，所以存在，便得，
故在上单调递增，在上单调递诚，排除.
故选：B
（二）
由图象选表达式
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型2：由图象选表达式
2-1．（2024高三上·湖北襄阳·期中）已知函数，，若函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图象判断函数的奇偶性，结合特殊值，可得答案.
【详解】易知为偶函数，由，则为奇函数，
由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，是奇函数，所以是非奇非偶函数，A，B不符合题意.
因为当时，无意义，所以C不符合题意.
故选：D.
2-2．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】观察函数的图象可得函数是奇函数，由此排除AB；再由函数单调性定义推理并排除C作答.
【详解】观察函数的图象知，函数的定义域为，是奇函数，
而函数是偶函数，函数是奇函数，
则与是非奇非偶函数，AB不可能；
对于C，是奇函数，且当时，函数与都是增函数，
任取，，
因此，即函数在上单调递增，C不可能；
对于D，是奇函数，当且无限增大时，的值无限趋近于，且趋近于无穷大，
的值无限趋近于无穷大，但增大的速度远大于增大的速度，则无限趋近于0，
当时，，选项D符合.
故选：D
2-3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可以是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性和符号分析判断.
【详解】因为，所以为奇函数，
对于选项A：因为为奇函数，则为偶函数，不合题意，故A错误；
对于选项B：因为为奇函数，则为偶函数，不合题意，故B错误；
对于选项D：当时，，可得，
则，
所以当时，恒成立，不合题意，故D错误；
故选：C.
2-4．（2024·天津）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
（三）
表达式含参数的图象问题
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型3：表达式含参数的图象问题
3-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数（，且）的图象可能是（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断.
【详解】因为函数（，且），
当时，是增函数，并且恒过定点，
又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；
当时，是减函数，并且恒过定点，
又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.
故选：C.
3-2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数的图象与函数的图象关于轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
3-3．（2024高三·四川·对口高考）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
3-4．（2024·浙江）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
（四）
函数图象应用题
在解决这类问题时，需要理解题目中的实际背景，将实际问题转化为数学问题，并运用函数的知识进行分析和求解。
题型4：函数图象应用题
4-1．（2024·四川南充·三模）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应t时），则下列说法中不正确的是（ ）
A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效
B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值
C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒
D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
【答案】C
【分析】根据所给图象及最低有效浓度、最低中毒浓度，逐项判断即可得解.
【详解】由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效，故A正确；
由图象可知，首次服药1小时药物浓度达到峰值，故B正确；
首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，经过1小时后，血药浓度超过，会发生药物中毒，故C错误；
服用该药物5.5小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故D正确.
故选：C
4-2．（2024·四川乐山·二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案．
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A正确；
对于B，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B错误；
对于C，函数，
因为，故C错误；
对于D，函数，
，故D错误，
故选：A．
4-3．（2024高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.
【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
4-4．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.
【详解】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.
故选：C
（五）
函数图象的变换
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
题型5：函数图象的变换
5-1．（2024高三·北京·学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数平移变换进行求解即可.
【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数.
故选：B.
5-2．（2024高三·全国·对口高考）把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】根据函数图象变换规律可得答案.
【详解】把函数的图象向右平移个单位，得函数，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.
故答案为：
5-3．（2024·北京丰台·二模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】D
【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.
【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.
故选：D
5-4．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
（六）
函数图像的综合应用
1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想．
题型6：函数图像的综合应用
6-1．（2024高一上·安徽淮北·期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围
【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，
由，
当时，，结合图象可得；
当时，，可得，
所以的解为或.
故答案为：.
6-2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是圆上的两段弧，则不等式的解集是 ．

【答案】
【分析】利用奇函数定义化简不等式，然后求与的交点，结合图象可得解集.
【详解】由图象可知，函数为奇函数，
故，即，
解得或，
在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，

由图象可知不等式的解集为．
故答案为：.
6-3．（2024·天津·一模）设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，等价于函数的图象与的图象恰有一个交点.作出函数的图象，通过抛物线的切线求出切线的的值，数形结合分析即得解.
【详解】设.
由得，
所以函数的图象与的图象恰有一个交点.
作出函数的图象，如图所示.
抛物线的顶点的横坐标为纵坐标为，所以.
当时，所以点是抛物线和对数函数图象的交点.
设抛物线的切点坐标为，.
所以切点坐标为，所以.
所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点.
由题得直线AB的斜率为.
当时，，所以.
当时，.
所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点.
综上，当或时，函数的图象与的图象恰有一个交点.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题有两个关键，其一，是作出函数的图象；其二，是要通过数形结合分析得到参数的取值范围.
6-4．（2024·甘肃·二模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是 ．
【答案】4
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图象的公共点个数作答
【详解】依题意，函数是以4为周期的偶函数，当时，，
则当时，，
方程，
因此原方程的实根就是函数与函数的图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，
观察图象知，当时，两函数图象只有一个交点，
当时，由得，即当时，两函数图象只有一个公共点，
于是当时，函数与的图象有2个公共点，
又函数与均为偶函数，则当时，两个函数图象有2个公共点，
所以函数与的图象有4个公共点，即原方程有4个根．
故答案为：4
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
6-5．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：；是函数图像的一条对称轴；函数在区间上单调递增；若方程在区间上有两根为，，则以上命题正确的是 填序号
【答案】
【分析】由已知条件分析函数的性质，结合函数图像，判断各命题是否正确.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，可得，
在中，令，得，所以，
所以，所以函数是周期为的周期函数；
结合函数的奇偶性和指定区间的单调性，画出函数的简图，如图所示.
从图中可以得出：
为函数图像的一条对称轴；
函数在单调递增；
若方程在上的两根为，，则，故均正确.
故答案为：.