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湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附答案）
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这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
审题学校：武穴中学审题教师：范超
考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数，则的虚部为（ ）
A.2iB.C.2D.-2
2.已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.圆与圆的公共弦长为
A.B.C.D.
5.已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（ ）
A.B.C.D.
6.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ）
A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是对立事件
C.事件与事件是互斥事件D.事件与事件是互斥事件
7.如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A.B.C.D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法不正确的是（ ）
A.若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C.是直线与直线垂直的充要条件
D.是直线与直线平行的充要条件
10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A.的最小值为
B.当与垂直时，直线与平面ABCD所成的角的正切值为
C.三棱锥体积的最小值为
D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A.曲线的图象表示两个圆B.的最大值是
C.的取值范围是D.直线与曲线有且仅有2个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______.
13.在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______.
14.已知实数满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程；
（2）求直线AB的方程.
16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长.
17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组，第四组，第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
18.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若点E在线段PC上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面BEF所成角取最大值时，求平面BEF与平面CEF夹角的余弦值.
19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；
（3）当点在曲线上运动时，求的最小值.
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案
12.或13.14.
部分小题详解：
7.依题意，，在四棱台中，
，设，则四点共面，
.
8.依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，则有，令.
10.对A，将平面和平面DMN展开到一个平面内，的最小值即点和D点连线的距离，，故选项A正确；
对B，如图，令中点为中点为，连接MN，
又正方体中，为棱的中点，可得，
平面平面，又，
且平面平面平面，
又平面，且平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，即的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点，，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为，
由，可得外接球半径，其外接球的表面积为，故选项D错误．
11.对于A，由得，
即，
所以或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．
对于表示到原点距离的平方再加1，故最大值为.
对于表示点与点连线的斜率.设过点且与圆相切的直线为，则由直线与圆相切可得或
对于D，由C知直线与圆M，N都相切，故直线与曲线有且仅有两个交点.
13.圆的标准方程为，故圆是以为圆心，1为半径的圆，的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.依题意，两圆有交点，则
14.设，
为正三角形.
表示点和点到直线的距离之和的倍.
设点是线段AB的中点，则，故点在圆上.
.
15.解：（1）边上的高线所在的直线方程为，
边可设为.…………………………………………………………………………2分
又点在AC边上，，求得……………………………………………4分
直线AC的方程为……………………………………………………………………5分
（2）由，解得…………………………………………………7分
设点关于直线对称的点
，解得……………………………………………10分
又点在直线AB上，……………………………………………………………………12分
求得直线AB的方程为：………………………………………………………………13分
16.解：（1）由题设得
于是故……………………………………3分
由正弦定理得………………………………5分
又……………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………7分
故………………………………………………………………………………………………………8分
（2）由（1）知
所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即
.………………………………………………………………………11分
设BC边上中线的长为，则有
.………………………………14分
……………………………………………………………………………………………………15分
17.（1）由题意可知：，解得………………………………2分
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数等于，………………………4分
（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数……………6分
成绩在第二组、第四组的方差
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．…………………………………………………………9分
（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，
由题意得，
所以，
所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为.…………………………………………11分
则，因为，
所以，因为相互独立，
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.……………………………………………15分
18.（1）证明：连，又
即
均为等边三角形，
所以四边形ABCD为菱形．……………………………………………………………………………2分
取AB中点，连OP，OD
为等边三角形，
又，即
又平面ABCD
平面ABCD
又平面平面平面ABCD.……………………………………………………7分
（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，建立如图的空间直角坐标系，易得
令
，令平面BEF法向量为
解得…………………………………………………………………10分
，………………………11分
令
当
…………………………………………………………………………………13分
所以平面BEF的法向量
，
设平面EFC的法向量
解得……………………………………………………15分
设二面角的夹角为
…………………………………………………………………………17分
19.（1）当时，，此时，交点为
当时，由，斜率为t，
由，斜率为，综上，.
直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以EF为直径的圆，除去点，则圆心为EF的中点，圆的半径为，故的轨迹方程为……………………………………5分
（没有扣1分）
（2），设，
当斜率存在时，直线的方程为，故
……6分
将直线方程与圆的方程进行联立，得：
.……………………………………………………………………8分
将其带入中可得：或，由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）………………………10分
当直线L的斜率不存在时，设，则，故可得，即则直线仍恒过定点，综上可得，则直线恒过定点
…………………………………………11分
（3），易知R、Q在该圆内，又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足.下面证明任意一点，都满足，即，
即,所以…………………………15分
，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立.即的最小值为…………………………………………………………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
D
C
A
D
A
B
ACD
ABC
ACD
审题学校：武穴中学审题教师：范超
考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数，则的虚部为（ ）
A.2iB.C.2D.-2
2.已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.圆与圆的公共弦长为
A.B.C.D.
5.已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（ ）
A.B.C.D.
6.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ）
A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是对立事件
C.事件与事件是互斥事件D.事件与事件是互斥事件
7.如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A.B.C.D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法不正确的是（ ）
A.若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C.是直线与直线垂直的充要条件
D.是直线与直线平行的充要条件
10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A.的最小值为
B.当与垂直时，直线与平面ABCD所成的角的正切值为
C.三棱锥体积的最小值为
D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A.曲线的图象表示两个圆B.的最大值是
C.的取值范围是D.直线与曲线有且仅有2个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______.
13.在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______.
14.已知实数满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程；
（2）求直线AB的方程.
16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长.
17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组，第四组，第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
18.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若点E在线段PC上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面BEF所成角取最大值时，求平面BEF与平面CEF夹角的余弦值.
19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；
（3）当点在曲线上运动时，求的最小值.
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案
12.或13.14.
部分小题详解：
7.依题意，，在四棱台中，
，设，则四点共面，
.
8.依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，则有，令.
10.对A，将平面和平面DMN展开到一个平面内，的最小值即点和D点连线的距离，，故选项A正确；
对B，如图，令中点为中点为，连接MN，
又正方体中，为棱的中点，可得，
平面平面，又，
且平面平面平面，
又平面，且平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，即的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点，，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为，
由，可得外接球半径，其外接球的表面积为，故选项D错误．
11.对于A，由得，
即，
所以或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．
对于表示到原点距离的平方再加1，故最大值为.
对于表示点与点连线的斜率.设过点且与圆相切的直线为，则由直线与圆相切可得或
对于D，由C知直线与圆M，N都相切，故直线与曲线有且仅有两个交点.
13.圆的标准方程为，故圆是以为圆心，1为半径的圆，的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.依题意，两圆有交点，则
14.设，
为正三角形.
表示点和点到直线的距离之和的倍.
设点是线段AB的中点，则，故点在圆上.
.
15.解：（1）边上的高线所在的直线方程为，
边可设为.…………………………………………………………………………2分
又点在AC边上，，求得……………………………………………4分
直线AC的方程为……………………………………………………………………5分
（2）由，解得…………………………………………………7分
设点关于直线对称的点
，解得……………………………………………10分
又点在直线AB上，……………………………………………………………………12分
求得直线AB的方程为：………………………………………………………………13分
16.解：（1）由题设得
于是故……………………………………3分
由正弦定理得………………………………5分
又……………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………7分
故………………………………………………………………………………………………………8分
（2）由（1）知
所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即
.………………………………………………………………………11分
设BC边上中线的长为，则有
.………………………………14分
……………………………………………………………………………………………………15分
17.（1）由题意可知：，解得………………………………2分
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数等于，………………………4分
（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数……………6分
成绩在第二组、第四组的方差
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．…………………………………………………………9分
（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，
由题意得，
所以，
所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为.…………………………………………11分
则，因为，
所以，因为相互独立，
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.……………………………………………15分
18.（1）证明：连，又
即
均为等边三角形，
所以四边形ABCD为菱形．……………………………………………………………………………2分
取AB中点，连OP，OD
为等边三角形，
又，即
又平面ABCD
平面ABCD
又平面平面平面ABCD.……………………………………………………7分
（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，建立如图的空间直角坐标系，易得
令
，令平面BEF法向量为
解得…………………………………………………………………10分
，………………………11分
令
当
…………………………………………………………………………………13分
所以平面BEF的法向量
，
设平面EFC的法向量
解得……………………………………………………15分
设二面角的夹角为
…………………………………………………………………………17分
19.（1）当时，，此时，交点为
当时，由，斜率为t，
由，斜率为，综上，.
直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点，
所以点的轨迹是以EF为直径的圆，除去点，则圆心为EF的中点，圆的半径为，故的轨迹方程为……………………………………5分
（没有扣1分）
（2），设，
当斜率存在时，直线的方程为，故
……6分
将直线方程与圆的方程进行联立，得：
.……………………………………………………………………8分
将其带入中可得：或，由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）………………………10分
当直线L的斜率不存在时，设，则，故可得，即则直线仍恒过定点，综上可得，则直线恒过定点
…………………………………………11分
（3），易知R、Q在该圆内，又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足.下面证明任意一点，都满足，即，
即,所以…………………………15分
，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立.即的最小值为…………………………………………………………………17分1
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ACD
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