专题40 空间向量及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】4
【考点突破】5
【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理5
【考点2】空间向量的数量积及其应用7
【考点3】利用空间向量证明平行与垂直9
【分层检测】12
【基础篇】12
【能力篇】15
【培优篇】16
考试要求：
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
4.理解直线的方向向量及平面的法向量.
5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知识梳理
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、解答题
3．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
考点突破
【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理
一、单选题
1．（2021·上海崇明·一模）若正方体上的点是其所在棱的中点，则直线与直线异面的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
二、多选题
3．（2022·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点P），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
4．（22-23高二上·广东·阶段练习）《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（ ）
A．设点的坐标为，，2，3，则
B．设，则
C．点到平面的距离为
D．若G为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为
三、填空题
5．（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ．
6．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 .
反思提升：
1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.
(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.
2.(1)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
【考点2】空间向量的数量积及其应用
一、单选题
1．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ）
A．30°B．C．60°D．90°
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·河北石家庄·三模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．若点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为
B．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
C．若点为的中点，则平面与四边形的交线长为
D．若点在侧面正方形内（包含边界）且，则点的轨迹长度为
4．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ）
A．B．的最小值为
C．当时，AM与BC的夹角为D．
三、填空题
5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 .
6．（23-24高二上·广东·期末）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ．
反思提升：
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
【考点3】利用空间向量证明平行与垂直
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为D．直线BC与平面所成的角为
2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，且和均是边长为的等边三角形，分别为的中点，为上的动点（不含端点），平面交直线于，则下列说法正确的是（ ）
A．当运动时，总有
B．当运动时，点到直线距离的最小值为
C．存在点，使得平面
D．当时，直线交于同一点
4．（2024·重庆九龙坡·三模）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与平面所成角的正切值为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为9π
三、解答题
5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平行六面体中，，.

(1)求证：四边形为正方形；
(2)求体对角线的长度；
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
6．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
反思提升：
(1)利用向量证明平行问题
①线线平行：方向向量平行.
②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.
③面面平行：两平面的法向量平行.
(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
①线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零；②线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；③面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（20-21高二上·山东泰安·期中）已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（ ）．
A．B．
C．D．存在非零实数，使
2．（2024·河南·三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2024·四川德阳·二模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①若，且，则
②若且，则
③若，且，则
④若，且，则
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
5．（22-23高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有( )
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝1
6．（2021·全国·模拟预测）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
7．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（ ）
A．存在点Q，使得B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值D．二面角的余弦值为
三、填空题
8．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
9．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
10．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.

四、解答题
11．（2023·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求的长.
12．（20-21高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2020·北京朝阳·一模）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点D．线段的四等分点，且靠近点
二、多选题
2．（2024·甘肃张掖·一模）下列命题错误的是（ ）
A．对空间任意一点与不共线的三点，若，其中，，且，则四点共面
B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是
C．若，共线，则
D．若，共线，则一定存在实数使得
三、填空题
3．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）如图，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，则二面角的大小为 ，此时，四面体的外接球的表面积为 ．

四、解答题
4．（2024·天津河西·二模）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·江西·二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
2．（2024·河北秦皇岛·三模）在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得直线平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．当时，线段长度的最小值为
三、填空题
3．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ．
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n
l∥α
u⊥n⇔u·n＝0
l⊥α
u∥n⇔u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0