专题43 直线的方程-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】直线的倾斜角与斜率4
【考点2】求直线的方程5
【考点3】直线方程的综合应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】9
考试要求：
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq \(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
3.直线方程的五种形式
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
5．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题
6．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
考点突破
【考点1】直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·贵州毕节·三模）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
4．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
三、填空题
5．（2023·江苏·模拟预测）设，直线，直线，记分别过定点，且与的交点为，则的最大值为 .
6．（2022高二·全国·专题练习）已知两点、，给出下列曲线方程：①；②；③；④．则曲线上存在点P满足的方程的序号是 ．
反思提升：
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
【考点2】求直线的方程
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线通过原点，是的一个法向量，则直线倾斜角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
3．（2023·浙江宁波·一模）已知直线 ：与圆 ：相交于两点，与两坐标轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．存在，使C．D．存在，使
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D．圆C与圆恰有两条公切线
三、填空题
5．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 .
6．（2023·江西南昌·一模）函数在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为 ．
反思提升：
(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
【考点3】直线方程的综合应用
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于 、两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D．圆C与圆恰有两条公切线
4．（2021·江苏常州·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减，上单调递增
B．的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
三、填空题
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
6．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
反思提升：
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2024·山东青岛·二模）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．若，直线被圆截得的弦长为
D．若直线与直线垂直，则
6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
7．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
三、填空题
8．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 .
9．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为 .
10．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
12．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
【能力篇】
一、单选题
1．（2022·四川南充·三模）设O为坐标原点，点，动点P在抛物线上，且位于第二象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离比到轴的距离大2
B．点到直线的最小距离为
C．以为直径的圆与轴相切
D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形
三、填空题
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 .
四、解答题
4．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．
(1)求直线的斜率；
(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
三、填空题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）正三棱柱内切球（球与上下底面和侧面都相切）的半径是为棱上一点，若二面角为，则平面截内切球所得截面面积为 .
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
α
0
0<αeq \f(π,2)
eq \f(π,2)<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0