专题60 二项式定理-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】6
【考点1】展开式中的通项问题6
【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题9
【考点3】二项式系数的最值问题13
【分层检测】16
【基础篇】16
【能力篇】22
考试要求：
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识梳理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
真题自测
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
二、填空题
3．（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
4．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
6．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
7．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
8．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
参考答案：
1．A
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
2．B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
3．5
【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
4．20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故答案为：20.
5．10
【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.
【详解】令，，即，解得，
所以的展开式通项公式为，令，则，
．
故答案为：10．
6．
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
7．-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
8．
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
考点突破
【考点1】展开式中的通项问题
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．（2022·广东·模拟预测）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（ ）
A．B．3360C．210D．16
二、多选题
3．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
4．（2022·江苏泰州·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2022·上海·模拟预测）在的展开式中，x的系数为 ．
6．（21-22高三下·山东德州·阶段练习）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为 ．
参考答案：
1．B
【分析】因为，结合二项展开的通项公式运算求解.
【详解】的展开式的通项公式为，，
∵，
∴，解得，
故选：B.
2．B
【分析】根据数据信息，求解出方差的值，代入二项式中，求解二项式展开式的通项公式，求解常数项即可.
【详解】解：数据0，2，0，2的平均值为1，故方差，
故二项式为，其展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
故选：B.
3．AC
【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出．
【详解】因为展开式的通项公式，所以
当，A正确；
当时，，B错误；
的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C正确；
根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D错误.
故选：AC.
4．ABD
【分析】令，可求得，判断A；写出的求解式子，结合组合数的性质化简，即可判断B；令，即可求得的值，判断C;对两边求导数，令，即可求得，判断D.
【详解】当时，，故A对；
，B对；
令，则，
∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，
∴，故D对，
故选：ABD．
5．17
【分析】利用二项式定理写出两个二项式的展开式，再分析计算作答.
【详解】因，，
则在的展开式中，含x的项为：，
所以所求x的系数为17.
故答案为：17
6．
【分析】根据二项式定理可知各项系数和为，二项式系数和为，可求出，然后在判断展开式的常数项.
【详解】解：由题意得：
令，则，所以的展开式中，各项系数和为
又二项式系数和为，所以，解得．
二项展开式的通项，令，得
所以展开式的常数项为．
故答案为：．
反思提升：
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题
一、单选题
1．（2021·江西·模拟预测）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（ ）
A．45B．-45C．120D．-120
2．（2022·山东德州·二模）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36B．30C．15D．10
二、多选题
3．（2022·福建龙岩·一模）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式共有7项B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128D．展开式的有理项共有4项
4．（2022·广东深圳·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2022·辽宁沈阳·一模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为 .
6．（2022·湖南长沙·一模）已知，则 ．
参考答案：
1．A
【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出n=10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a= -1,用通项公式求出的项的系数.
【详解】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在的展开式有11项，即n=10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为.
故选：A
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
2．C
【分析】先根据“所有项的系数和”求得，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】令，则可得所有项的系数和为且，解得，
∵的展开式中的通项，
∴当时，展开式中的常数项为.
故选：C
3．CD
【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，
所以令可得：.
A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；
B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，
因此本选项说法不正确；
C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；
D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，
故本选项说法正确，
故选：CD
4．AD
【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由，
令得，A选项正确.
令得，B选项错误.
二项式展开式的通项公式为，
由此可知是负数，为正数，
所以令得，
，
即，C选项错误
由，
两边求导得，
令得，所以D选项正确.
故选：AD
5．240
【分析】由已知求得，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.
【详解】的展开式中，二项式系数和为，
令，得的展开式中，各项系数和为，
由题意可得，即，解得，
所以的展开式的通项为，
令，解得，故展开式的常数项为，
故答案为：240
6．0
【分析】利用赋值法可得答案.
【详解】根据题意，今，得，令，得，
因此，
故答案为：0.
反思提升：
1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
【考点3】二项式系数的最值问题
一、单选题
1．（2022·山西临汾·二模）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
2．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
二、多选题
3．（2022·广东茂名·二模）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项D．有理项共5项
4．（2024高三下·河南·专题练习）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数之和为64
B．展开式中存在常数项
C．展开式中含项的系数为560
D．展开式中系数最大的项为
三、填空题
5．（21-22高三下·全国·开学考试）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为，则展开式中最大的二项式系数值为 ．
6．（2024高三上·全国·竞赛）在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据可知二项式系数最大值为，再根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．
故选：A．
2．C
【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.
【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
3．BD
【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的的性质求解判断.
【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误，
令，得所有项的系数和为，故B正确，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，
因为展开式通项为，
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故选：BD．
4．ACD
【分析】利用通项公式结合第4项与第5项的二项式系数相等可知，可推出，再由各项系数和为2187，利用赋值可得，解得，从而得到一个已知的二项式，再利用二项式系数的性质和方法去判断各选项.
【详解】由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，
又展开式的各项系数之和为2187，即当时，，解得，
所以二项式的系数之和为，
又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
则奇数项的二项式系数之和为，故A正确；
由的展开式的通项，令，
解得，故展开式中不存在常数项，故B错误；
又令，解得，所以展开式中含项的系数为，故正确；
由得，，又，所以5，
所以展开式中系数最大的项为，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】写出通项公式，然后得第4项的系数与倒数第4项的系数，列式求解，利用二项式系数的性质求解答案.
【详解】由题意，的展开式的通项为，所以展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，所以，即，得，所以展开式中最大的二项式系数值为或.
故答案为：
6． －1
【分析】第一空，根据二项式展开式中的系数，列式求解，可得a的值；第二空，讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案.
【详解】由题意知在的展开式中，的系数为，
即，
若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意，
当时，所以项的系数均为正数，则需满足，
即得；
当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数，
则此时需满足，解得，
综合可得的取值范围是，
故答案为：-1；
【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，注意时，二项展开式中系数的正负情况，从而列式得解.
反思提升：
二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为或.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·二模）已知，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．（2024·辽宁·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．55B．C．30D．
4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知能被9整除，则整数的值可以是（ ）
A．B．-7C．9D．13
二、多选题
5．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
6．（2023·山东青岛·一模）在的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为D．各项的系数之和为
7．（23-24高二上·山东青岛·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
三、填空题
8．（2023·河北·模拟预测）已知多项式，则 .
9．（22-23高二下·湖南·期末）在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为 .
10．（2023·江苏南通·一模）展开式中含项的系数为 ．
参考答案：
1．A
【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令，求出回代到展开通项即可求解.
【详解】的展开式通项为，
由题意令，解得，从而常数项是.
故选：A.
2．D
【分析】先根据二项展开式的通项公式求得，再利用赋值法，令，进而即可求解．
【详解】由，
则，得，
令，得，
左右两边除以，得，
所以．
故选：D．
3．C
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，有，
令，有，
则，
故的展开式中的系数为.
故选：C.
4．B
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，则能被整除，结合选项即可求解.
【详解】因为
，
又能被整除，
所以能被整除，
由选项知当时符合，当，或时均不符合.
故选：B．
5．AB
【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D.
【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.
故选：AB.
6．AC
【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断.
【详解】根据二项式定理,的通项公式为,
对于A,常数项为,故A正确;
对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;
对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;
对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.
故选:AC.
7．ABD
【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D.
【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为；
而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确；
故答案为：ABD.
8．74
【分析】利用二项展开式的通项分别求得和的展开式的项，进而求得的值.
【详解】对于，
其二项展开式的通项为，
令，得，
故，
对于，
其二项展开式的通项为，
令，得，故，
所以.
故答案为：74.
9．
【分析】根据题意可确定n的值，继而求得二项展开式的通项公式，令x的指数等于0，求得r的值，即可求得答案.
【详解】因为二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，
故二项式的展开式有7项，则，
故的通项公式为，
令，
故展开式中的常数项为，
故答案为：
10．－60
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】，
设该二项式的通项公式为，
因为的次数为，所以令，
二项式的通项公式为，
令，
所以项的系数为，
故答案为：
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（ ）
A．24B．25C．48D．49
2．（23-24高三下·山东济南·开学考试）被除的余数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题
3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知二项展开式，下列说法正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项是
B．的展开式中的各项系数之和为
C．的展开式中的二项式系数最大值是
D．，其中为虚数单位
4．（2024·辽宁·模拟预测）若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（ ）
A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项
三、填空题
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）展开式中项系数为 .
6．（22-23高三下·四川成都·开学考试）二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为 ．
参考答案：
1．D
【分析】利用二项式定理连续展开两次，然后令，从而满足题意的数组可以是：，将这些数组回代入通项公式即可运算求解.
【详解】的展开式通项为
，
令，得满足题意的数组可以是：，
规定，
故所求为.
故选：D.
2．B
【分析】由22024=41012=3+11012，写出3+11012的展开式，即可求出被除的余数.
【详解】因为22024=41012=3+11012
=C10120×31012+C10121×31011+C10122×31010+⋯+C10121010×32+C10121×31+C10121012×30，
其中C10120×31012+C10121×31011+C10122×31010+⋯+C10121010×32
=C10120×31010+C10121×31009+C10122×31008+⋯+C10121010×30×32能被整除，
又C10121×31+C10121012×30=3037=9×337+4，
所以被除的余数为.
故选：B
3．BC
【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.
【详解】，
对A：令，即，则，故A错误；
对B：令，即，故各项系数之和为，故B正确；
对C：由，故二项式系数中的最大值为，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
4．ACD
【分析】根据二项式系数的最值可得或，结合二项展开式分析求解.
【详解】由题意可知：的展开式通项为，
因为中第4项的二项式系数最大，
当为偶数，则，即，此时，
令为整数，可得，
即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；
当为奇数，则或，即或，
且，可得，此时，
令为整数，可得，
即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；
故选：ACD.
5．
【分析】可将转化为，然后再利用二项式定理展开求解.
【详解】由题意得可化简为，
且其展开式通项为，
其中对于的展开式通项为，，
当时，此时，则的系数为，
当时，此时，则的系数为，
所以项系数为.
故答案为：.
6．
【分析】根据二项式系数和公式求，再由二项展开式的通项公式求常数项即可.
【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，得，即．
所以．
令，得，
所以二项式的展开式中常数项为．
故答案为：
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
二项式系数Ceq \\al(k,n)
当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的
当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
题号
1
2








答案
A
B








题号
1
2
3
4






答案
B
B
AC
ABD






题号
1
2
3
4






答案
A
C
CD
AD






题号
1
2
3
4






答案
A
C
BD
ACD






题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
A
D
C
B
AB
AC
ABD



题号
1
2
3
4






答案
D
B
BC
ACD