江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题试卷及参考答案

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设集合A={1，2}，B={1，2，3，4}，则
A．{1，2} B．{2}C．{1，2，3，4} D．{3，4}
2．函数的定义域为
A．B．C．D．
3．已知函数，则函数的图象是
A． B． C． D．
4．已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为
A．B．C．1D．2
5．已知，则
A．B．C．1D．2
6．“”是“幂函数在上是减函数”的一个
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M，已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则
A．B．1.05C．D．0.75
8．若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．设正实数满足，则
A．的最大值是B．的最小值为4
C．最小值为2D．最小值为
10．下列四个结论中，正确的结论是
A．与表示同一个函数
B．定义在R上的偶函数满足：，且对任意，
都有，则的解集是
C．设函数，则对，恒成立
D．已知，则的取值范围的取值范围是
11．已知集合，则
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．
12．计算： ．
13．已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
14．我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．据此，函数的图象的对称中心是 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．(13分)设集合，，．
（1）m=2，求A∪B；
（2）若A∩B=B，求m的取值范围．

16．(15分)（1）函数是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数的定义域为，且，判断的单
调性，并用函数单调性的定义进行证明．
17．(15分)已知函数，．
（1），用表示中的最小者，记作，
当a=1时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间；
（2）设，求的最小值．
18．(17分)如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域．四个小矩形AMQD、MNFE、BCPN、PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2，且AM=ME=3NB．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1000元/m2；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/m2．设AD长为（单位：m）．
（1）用x表示AM的长度，并写出x的取值范围；
（2）用x表示花坛与地坪的造价之和；
（3）设总造价为C(x)元，当AD长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价．

19．(17分)已知函数是奇函数．（e是自然对数的底）
（1）求实数m的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设，对任意，若以a，b，c为长度的线段可以构
成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数
t的最大值．
参考答案
11．已知集合，则
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】由，
则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；
因为，故C正确；
由，则为奇数或4的倍数，
当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以，
当都为奇数时，则可令，
所以，所以，
故，故D正确．
故选：BCD．
12．计算： ▲ ．
【答案】9
13．已知函数是偶函数，当时，，则当时， ▲ ．
【答案】
14．我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．据此，函数图象的对称中心是 ▲ ， ▲ ．
【答案】，
【详解】设的对称中心为，则为奇函数，
所以，
即，
化简可得，
所以，解得，
所以图象的对称中心为；
因为图象的对称中心为，所以，
所以，所以，
所以，
所以原式，
故答案为：；．
15．设集合，，．
（1）m=2，求A∪B；
（2）若A∩B=B，求m的取值范围．
【详解】（1）当时，，
因为，所以．
（2）由题意得
①若，则，解得；
②若，则，解得；
，或，
综合①②得：的取值范围是．
16．（1）函数是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数的定义域为，且，判断的单
调性，并用函数单调性的定义进行证明．
【详解】（1）设，则，
∴，∴，解得，或，
∴或．
（2），即
，且，有
由于，即，
所以函数在区间上单调递增．
17．(15分)已知函数，．
（1），用表示中的最小者，记作，
当a=1时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间；
（2）设，求在上的最小值．
【详解】（1）图象如图所示，，
单调递增区间为和；
①当，，
②当，，
③当，，
综上所述：
18．(17分)如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域．四个小矩形AMQD、MNFE、BCPN、PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2，且AM=ME=3NB．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1000元/m2；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/m2．设AD长为（单位：m）．
（1）用x表示AM的长度，并写出x的取值范围；
（2）用x表示花坛与地坪的造价之和；
（3）设总造价为C(x)元，当AD长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价．
【答案】（1），；
（2）
（3）当时，总造价最小为240000元．
【详解】（1）由题意：矩形AMQD的面积为，
因此，
因为，所以．
（2）
（3）由题意可得：
，（）
由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，总造价最小，最小值为240000元．
19．已知函数是奇函数．（e是自然对数的底）
（1）求实数m的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设，对任意，若以a，b，c为长度的线
段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三
角形，求实数t的最大值．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得．经检验，此时是奇函数
所以．
（2）由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，
所以．
（3）由题意得：
不妨设，则
由a，b，c为长度的线段可以构成三角形，则，
以，，为长度的线段也能构成三角形，
则恒成立，得恒成立
即时，恒成立，
又，仅当a=b时前一个等号成立，
所以，即，于是n的最大值为．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
C
D
A
D
B
C
A
ABD
ACD
BCD