甘肃省张掖中学2024-2025学年高三上学期11月期中学业质量检测数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
【答案】【答案】1-5ABBAD
6-8DAC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9【答案】ABD 10【答案】ABD 11【答案】BCD 12【答案】BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13【答案】2
14【答案】
15【答案】，
16【答案】
16【答案】①②③⑦
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17【答案】．
【解析】∵，解得，∴，
由题意得，
当时，，
，；
当时，满足条件；
当时，，
，，
综上，实数a的取值范围是．
18【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）作出二次函数的图象如图所示，
当，二次函数的最小值为，则的取值范围为．
（2）选择方案①，
由图像可知，当时，，此时，
，此时．
选择方案②，
当时，，此时或，
，此时．
选择方案③，
当时，，此时，
，此时．
19【解析】(1)证明：连接，∵为平行四边形，且，
∴为菱形，， 2分
又∵，∴平面，∴，又∵，
∴平面，∴ ； 4分
(2)解：∵，，，∴，
∴、、两两垂直，以为坐标原点，
、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 5分
则、、、、，设，
则，，，
易知，平面，则平面的一个法向量， 7分
设是平面的一个法向量，则，
∴，得， 9分
∴，解得，
∴在棱上存在点，当时，得二面角的大小为。 12分
20【答案】（1）极大值为，极小值为.（2）
21.【解析】(1)取的中点，连接，∵，，∴，
∴四边形是平行四边形， 2分
∴，又，∴， 3分
令，则，，
∴，∴， 4分
又平面平面，平面平面，
∴平面，又平面，∴； 5分
(2)取的中点，连接、，则易知，，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴，∴、、两两垂直， 6分
故可以以、、所在直线分别、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
∴、、， 7分
设平面的法向量为，则，即，
∴，令，则，∴为平面的一个法向量， 9分
设直线与平面所成的角为，
则， 11分
∴直线与平面所成角的正弦值为。 12分
22【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】
（1）由题意结合极值的概念可得，解得后，验证即可得解；
（2）求导得，按照、、、分类讨论，求得的解集即可得解；
（3）转化条件得，令，，求导确定的单调性和值域即可得解.
【详解】
（1），
∵函数在处取得极值，，解得，
当时，.
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时，函数在处取得极小值；
（2），
，
令，则或，
①当时，令可得，
∴函数的单调递增区间为；
②当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
③当时，在上恒成立，
∴函数的单调递增区间为；
④当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
（3），，
，，
整理可得，
令，，
，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴当时，取得极小值即最小值为，
即，
解得（舍去）或，
的取值范围为.
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.