2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了已知函数，若，则　　，已知集合，，，则　　，函数的值域是 　　等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知函数，若，则 ．
2．（4分）已知集合，，，则 ．
3．（4分）函数的值域是 ．
4．（4分）下列函数中，偶函数的序号为 ．
①
②
③
④
5．（4分）若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 ．
6．（4分）设，关于的方程的解集为，若只有1个元素，则实数的取值范围是 ．
7．（5分）对任意实数，都有，则实数的最大值为 ．
8．（5分）若函数的值域为，，则实数的取值范围为 ．
9．（5分）设不等式的解集为，设函数且与轴有两个交点时实数的取值集合为，则 ．
10．（5分）已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是 ．
11．（5分）函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则的取值范围是 ．
12．（5分）已知实数，，，则的取值范围为 ．
二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）
13．（4分）已知，则“成立”是“成立”的 条件．
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不充分也非必要
14．（4分）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于
A．B．C．D．
15．（5分）已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．那么曲线关于曲线的关联点的个数为
A．0B．1C．2D．4
16．（5分）①德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为
①狄利克雷为偶函数
②狄利克雷为奇函数
③狄利克雷函数值域为，
④对于任意，均有
⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出
⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点
A．①③④⑥B．②③⑤C．①④D．②④⑥
三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）
17．（14分）命题甲：集合，，且．
命题乙：集合，，且．
问题：若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求：实数的取值范围．
18．（14分）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法．
（1）已知实数，，，，，满足．求证：，，，，中至少有一个实数不小于1．
（2）已知，，，试比较：、、三者的大小关系．
（3）若实数，，，满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件．
19．（14分）由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．
20．（18分）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径．
（1）已知函数，，若对任意，恒成立，求：实数的取值范围．
（2）设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：的取值范围．
①对于任意，的值为或；
②关于的方程无实数解．
（3）已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数．
21．（18分）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．
（1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
（2）若幂函数使得在，上是“伪奇函数”， 是“伪偶函数”，求：实数的取值范围；
（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合．
参考答案
一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1．（4分）已知函数，若，则 2 ．
解：函数，，
．
故答案为：2．
2．（4分）已知集合，，，则 ．
解：，，，
把代入方程，方程不成立，故，
再把代入方程，方程不成立，故，
．
故答案为：．
3．（4分）函数的值域是 ．
解：当时，，
当，．
若时，，当且仅当，即时等号成立，
此时，即，
若时，，
当且仅当，即时等号成立，
此时，即，
综上所述，函数的值域为．
故答案为：．
4．（4分）下列函数中，偶函数的序号为 ①②④ ．
①
②
③
④
解：①由，解得，
则原函数为，函数为偶函数；
②由，解得．
此时，函数为偶函数；
③，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可知，函数为奇函数；
④，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可知，函数为偶函数．
故答案为：①②④．
5．（4分）若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 ， ．
解：有三个根（允许相等），
设这三根为：，，，不妨设，
即，为方程的两正根，
所以，且△，解得，
这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
两边之和：，则，
两边之差：，
即，
所以，，解得，
因此，，
故实数的取值范围是，．
6．（4分）设，关于的方程的解集为，若只有1个元素，则实数的取值范围是 或 ．
解：因为，关于的方程的解集为，
若只有1个元素，则关于的方程只有一个负根，
①只有一个根且为负根，，解得，
②有两个根且一个负根，，此时，
故的取值范围为或．
故答案为：或．
7．（5分）对任意实数，都有，则实数的最大值为 2 ．
解：依题意，，，
所以，
则，即，当，或，时等号成立．
则的最大值为2．
故答案为：2．
8．（5分）若函数的值域为，，则实数的取值范围为 ， ．
解：因为函数的值域为，，
所以能够取到大于等于0的所有数，
当时，不合题意；
当时，则，解得；
综上可得，．
故答案为：，．
9．（5分）设不等式的解集为，设函数且与轴有两个交点时实数的取值集合为，则 ．
解：由，得，
解得，从而，．
设函数和函数，
则函数且与轴有两个交点，
就是函数的图象与函数的图象有两个交点．
当时，如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，不符合题意；
当时，如图，因为函数的图象过点，
而直线与轴的交点一定在点的上方，所以两图象一定有两个交点．
综上，实数的取值范围是，从而．
则．
故答案为：．
10．（5分）已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是 ．
解：对任意的，都有，
因为（1），
则（3）（5），
则，
令，
则，
则当时，有最小值，
则有最小值．
故答案为：．
11．（5分）函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则的取值范围是 ．
解：由①可知，，即；
由③可知，；
由②可知，，即，
又，则，解得；
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
12．（5分）已知实数，，，则的取值范围为 ．
解：因为，，
所以，
即，
故，
又，，
将，看成方程的两根，则△，
即，故，解得．
故答案为：．
二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）
13．（4分）已知，则“成立”是“成立”的 条件．
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不充分也非必要
解：若，则，
若时，，
若时，，
若时，，
则当时，，
则“成立”是“成立”的充要条件．
故选：．
14．（4分）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于
A．B．C．D．
解：由题意可知，指图（1）中阴影部分构成的集合，
所以指图（2）中阴影部分构成的集合，
由图可知，．
故选：．
15．（5分）已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．那么曲线关于曲线的关联点的个数为
A．0B．1C．2D．4
解：如图所示：设线段与曲线的交点为，
如图所示，令点，则点，．
由于点在函数的图象上，故有，
即．
故曲线关于曲线的关联点的个数，
即为函数 和曲线的交点的个数．
在同一个坐标系中，画出函数 和曲线的图象，
数形结合可得函数 和曲线的交点的个数为1，
故选：．
16．（5分）①德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为
①狄利克雷为偶函数
②狄利克雷为奇函数
③狄利克雷函数值域为，
④对于任意，均有
⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出
⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点
A．①③④⑥B．②③⑤C．①④D．②④⑥
解：狄利克雷函数，
若为有理数，则也是有理数，
，，即，
若为无理数，则也是无理数，
，，即，
又函数的定义域为，所以函数是上的偶函数，故①正确，②错误；
狄利克雷函数值域为，，故③错误；
对于任意，有，或1，都是有理数，
，有，故④正确；
狄利克雷函数的图象不可以通过列表描点法画出，故⑤错误；
取，，，，得到△为等边三角形，
即在狄利克雷函数上存在可以构成等边三角形的三点，故⑥错误．
故选：．
三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）
17．（14分）命题甲：集合，，且．
命题乙：集合，，且．
问题：若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求：实数的取值范围．
解：命题甲：集合，，且，
，解得，
当命题甲是真命题，实数的取值范围为．
命题乙：集合，，且，
或集合中元素是非正数，
又，
中元素是方程的解，
当时，△，解得，
当集合中元素是非正数时，
设，是方程的根，
，则△且，解得，
当命题乙是真命题时，实数的取值范围为．
命题甲和乙中有且只有一个真命题，
命题甲是真命题，命题乙是假命题或命题甲是假命题，命题乙是真命题，
当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到，
当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到，
命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或．
18．（14分）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法．
（1）已知实数，，，，，满足．求证：，，，，中至少有一个实数不小于1．
（2）已知，，，试比较：、、三者的大小关系．
（3）若实数，，，满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件．
解：（1）证明：（反证法）假设，，，，全小于1，即，，，，，
所以，这与矛盾，
故假设不成立，所以，，，，中至少有一个实数不小于1．
（2）因为函数在上为减函数，又，所以，
即，
又函数在上为增函数，又，所以，
所以；
（3），，
当且仅当，即取等号，
所以，
当且仅当且，同号时取等号．
19．（14分）由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．
解：（1）由题意，当时，，，，
，
当时，，，，
综上，得，
即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为；
（2）当时，，，函数在，上单调递增，
当时，单调递减，所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，
即时，，
故当且仅当，即时，有最大值．
20．（18分）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径．
（1）已知函数，，若对任意，恒成立，求：实数的取值范围．
（2）设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：的取值范围．
①对于任意，的值为或；
②关于的方程无实数解．
（3）已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数．
解：（1）①当时，，
则，，
此时恒成立，故；
②当时，，
则，，
若，即，
令为对勾函数，在上单调递减，
所以，
故；
③当时，
若，则，，
同②，符合题意；
若，则，，同①，符合题意；
综上所述，的取值范围为；
（2）由条件①得，，解得或，
所以当时，；当时，（1），
又因为关于的方程无实数解，
所以且，
所以，，，；
（3）①若函数有两个相等的实数根，
则△，得，实数根，
令，
则，
当时，，
此时，有2个解；
②若函数有两个不相等的实数根，
则△，得，
此时两个实数根分别是，，
而．
即在时成立，
此时，有4个解；
综上所述，集合有2个或4个元素．
21．（18分）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．
（1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
（2）若幂函数使得在，上是“伪奇函数”， 是“伪偶函数”，求：实数的取值范围；
（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合．
解：（1）对于函数，由，
得，即，
也就是，此方程无解；
由，得，即，
也就是，定义中为非零实数，则函数，不是“伪奇函数”，也不是“伪偶函数”；
（2）由是幂函数，得，即，
此时，要使在，上是“伪奇函数”， 是“伪偶函数”，
则在，上有解，且在上有解，
只需在，上有解，
，，，，可得，，则，；
（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，
则有在内有解，
在上有解，
令，则，，方程化为，
则在，上有解，
可得，或，
解得．
，的取值集合为，1，．