湖北省荆门市京山市2024－2025学年 上学期期中教学质量监测九年级数学试卷

这是一份湖北省荆门市京山市2024－2025学年 上学期期中教学质量监测九年级数学试卷，共13页。试卷主要包含了答题前，请将自己的考号，选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟 试卷满分120分
注意事项：
1、答题前，请将自己的考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上的指定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用黑色签字笔把答案填写在答题卡上对应的方框内，写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域均无效.
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷草稿纸和答题卡非答题区城均无效.
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1.将一元二次方程化成一般式后，若二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A.5，81B.5，C.，81D.5x，
2.近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列我国国产部分新能源品牌汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
3.抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（ ）
A.先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B.先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C.先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
4.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A.30°B.40°C.50°D.60°
6.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为（ ）
A.6B.7C.8D.9
7.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径CD的长度为（ ）
A.12寸B.24寸C.13寸D.26寸
8.如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A.B.C.D.
9.已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A.B.1C.15D.17
10.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________.
12.写出一个两根互为倒数的一元二次方程__________.
13.如图，一块直角三角板的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是56°，则的度数为__________.
14.若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为__________.
15.如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为EF，点F为AD中点，折叠后，EC的对应边EH经过点A，D点的对应点为点G.若，，则__________.
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16.（本题6分）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
17.（本题6分）如图，和都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上.
（1）求证：；
（2）可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到的过程.
18.（本题6分）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）.
图1图2图3
（1）如图1，E是平行四边形边AD上一点，过点A画一条直线AF，使；
（2）如图2，正六边形，在图中画一条直线GH，使GH垂直平分AF；
（3）如图3，是四边形的外接圆，且，在图中画一条异于BC的直线EF，使.
19.（本题8分）已知关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根.
20.（本题8分）小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质.图中所示的二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点.
（1）直接写出二次函数的解析式为__________；
（2）当时，函数的最大值为__________，最小值为__________；
（3）利用图象直接写出不等式的解集为__________.
21.（本题8分）如图，已知的直径，弦，的平分线交于点.
（1）求BC、AD、BD的长；
（2）求CD的长.
22.（本题10分）已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.
（1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品__________件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为__________，x的取值范围是__________，每星期售出商品的最大利润__________元；
（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？
（3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元.
①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润.
23.（本题11分）【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，.将绕点逆时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点E，DE交AB于点，延长DE交BC于点.
图1图2图3
【数学思考】（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由.
【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题.
①“乐学小组”提出问题：如图2，当时，求线段BP的长.
②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段BP的长.
24.（本题12分）已知抛物线的图象与轴交于点，两点，与轴交于点.
图1图2图3
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
（3）若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
京山市2024-2025学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷
数学参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
9.解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，，
，.
故选：C.
10.解：①抛物线开口向上，，，，
抛物线与轴交于负半轴，，，故结论错误；
②抛物线对称轴是直线，与轴交于，两点，
，，故结论正确；
③根据对称轴为直线，，则，
时，，，故结论错误；
④当时，为最小值，
，即（为任意实数），故结论正确.
故选：B.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.12.（答案不唯一）13.62°
14.0或2或15.4
14.解：当时，函数为一次函数，解析式为，其图象与轴只有一个交点.当时，函数为二次函数，
关于的函数的图象与轴只有一个交点，
，即.解得：.
当，或时，函数的图象与轴只有一个交点.
故答案为：0或2或.
15.解：四边形是矩形，，
，，，，，
由折叠得，，，，
点F为AD中点，，
，，，
，.
在中，，
，
，，，.
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16.（本题6分）解：
正确解答：，
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，，
则或，
解得，.
17.（本题6分）
证明：（1）和都是等边三角形，
，，，
，即，
在与中，，，；
（2）是等边三角形，，，同理，.
以点为旋转中心将逆时针旋转60°就得到.
18.（本题6分）

图1图2图3
解：（1）如图1，直线AF即为所求作.
（2）如图2，直线GH即为所求作.
（3）如图3，直线EF即为所求作.
19.（本题8分）
解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，
解得，，即的值为，方程的另一个根为1.
20.（本题8分）
解：（1）二次函数的图象与轴相交于点，，
设二次函数的解析式为，
二次函数的图象与轴相交于点，
，，，
二次函数的解析式为；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
，，当时，二次函数取得最小值为，
，当时，二次函数取得最大值为，
故答案为：0，；
（3）如图，记抛物线与直线右边交点为，
联立，解得：或，，
由图象可得不等式的解集为：或.
21.（本题8分）
解：（1）为的直径，，
在中，，，，
为的直径，，
的平分线交于，，，
为等腰直角三角形，，
，；
（2）方法1：作于，如图，
方法1
，为等腰直角三角形，，
在中，，，
，，，.
方法2：作于，作于，连接DA，DB.
方法2
平分，，，，.
，，.
易证，.，
，，，.
方法3：延长CB到，使，连接DE，相当于将绕点顺时针方向旋转90°，
方法3
易证，，
，，，.
22.（本题 10 分）
每涨价1元，每星期要少卖出10件，每星期实际可卖出件，
，
，
.
当时，，在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250.
故答案为：，，，6250，
（2）由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元；
（3）①


②，
当时，，
当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元.
23.（本题11分）
（1）解：，
理由：如图1，连接AP，
图1
由旋转的性质知，，
，，；
（2）解：①如图2，延长AE，交BC于点F，
图2
，，，
，，
由（1）知，，
设，则，
，，
；
②如图 3，
图 3
，，，.
由旋转的性质知，，，，，
当时，，，，
，，
，，，，，
，.
，，.
24.（本题12分）
解：（1）将点，代入，可得，，
，，，；
（2）在轴上截取，过作轴交AP的延长线于，则，
图2
，，，，
，，，，
，，
设直线AE的解析式为，
将，代入得：，解得：，
直线AE的解析式为；
由得：，；
（3）设直线与轴交于，过作轴于直线于，
当点在第二象限时，如图3，
图3
直线轴，四边形是矩形，
，，，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，，
，（AAS），，，
设，，
解得或（不合题意，舍去），.
当点在第二象限时，同理可得.
故存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
满足条件的点的坐标为，.小敏：
两边同除以，得
，
则.
小霞：
移项，得，
提取公因式，得.
则或，
解得，.
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
C
B
D
A
C
B
小敏：
两边同除以，
得，
则.
（×）
小霞：
移项，得，
提取公因式，得.
则或，
解得，.
（×）