2025年1月广东省高中合格性学业水平考试数学模拟测试（五）

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注：本卷共22小题，满分150分。
一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）
1．已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】
试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C．
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．
2．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根式化简及零指数意义.
【详解】
对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：D.
【点睛】
根式化简注意根指数的奇偶性.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
分析：先将根据二倍角公式化简即可求值.
详解：由题可得：
=3
故选D.
点睛：考查三角函数的二倍角公式的运用，属于基础题.
5．在中，若，则一定为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【答案】B
【解析】
分析：将条件的原式移项，结合三角和差公式即可得出结论.
详解：由题可知：，故为锐角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角，故三角形为钝角三角形，所以选B.
点睛：考查三角和差公式的应用，结合三角形的内角和结论即可，属于基础题.
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每个选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】
对．取，则不成立，故错误；
对．当，时，不成立，故错误；
对．，，，，故正确；
对．根据，，取，则不成立，故错误．
故选：C．
11．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，是异面直线，那么与相交
B．若//,，则
C．若，则//
D．若//，则
【答案】D
【解析】
【分析】
采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果.
【详解】
若，是异面直线,
与也可平行，故A错
若//，，
也可以在内，故B错
若
也可以在内，故C错
若//，
则，故D对
故选：D
【点睛】
本题主要考查线面以及线线之间的位置关系，属基础题.
13．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是( )
A．③④B．①②④
C．②④D．①③④
【答案】A
【解析】
由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；
计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，因此②错、③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．
14．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是互斥事件
C．与是对立事件D．，，两两互斥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据互斥事件、对立事件的概念，对三个事件进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题.
二、填空题
16．在中，是方程的两根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.
【详解】
由题可知：是方程的两根
所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题.
17．已知向量夹角为，且，，则_______.
【答案】
【解析】
由已知，根据向量数量积定义，得，又，两边平方，得，则，解得.
三、解答题
20．中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：
（1）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；
（2）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；
（3）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.
【答案】(1) （2）元. （3）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据题意分和两种情况求得关系式，写成分段函数的形式；（2）设该月甲乙两人的电话资费均为元,通话量均为分钟，分，和三种情形分别求解判断；（3）分别求出三种方案中的月话费，通过比较大小可得结论．
试题解析：
(1)由题意得，当时，;
当时，．
故所求解析式为
（2）设该月甲乙两人的电话资费均为元,通话量均为分钟.
①当时, 甲乙两人的电话资费分别为元, 元,不相等；
②当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）,
元, ,；
③当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）,
（元）, 解得
所以该月学生甲的电话资费元.
（3）月通话量平均为320分钟，方案的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；
方案的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；
方案的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元.
经比较, 选择方案更合算.
21．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）过点作，垂足为，利用勾股定理证明，利用平面，证明，即可证明平面；
（2）证得平面，利用，即可求解的体积.
【详解】
(1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，
所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，
又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，
又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，
AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.
VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝.
【点睛】
本题考查线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
方案代号
基本月租（元）
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
6
568
1700
0．35
7
788
2588
0．30