湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

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注意事项：
1．本试卷考试时量120分钟，满分150分；
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，集合，则(∁RA)∩B=
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
3．设，向量，，，且，，则等于
A．B．C．3D．4
4．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则
A．
B．
C．
D．
5．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为
A．B．C．D．
6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A．B．C．D．
7．已知曲线，曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若△的周长为16，则的方程为
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是
A．直线的倾斜角为
B．若直线经过第三象限，则，
C．点在直线上
D．存在使得直线与直线垂直
10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数使得
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知直线，若，则实数 .
13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 ．
14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 .

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知△ABC的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
16．（15分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值.
18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，△的周长为．
(1)求的方程；
(2)若△的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．