四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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总分150分 时间120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若命题：，则命题为（ ）
A. B.
C. D.
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
4. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 若次多项式满足，则称这些多项式切比雪夫多项式．如，由可得切比雪夫多项式，同理可得．利用上述信息计算（ ）
A. B. C. D.
8. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
10. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A. 数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B. 已知随机变量，若，，则
C. 若事件M，N概率满足，且，则M与N相互独立
D. 若一组样本数据（，2，…，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点，则
B. 若对于三点，则“”当且仅当“点A在线段上”
C. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
D. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）
13. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为_______．
14. 设数列的前项和为．对任意恒成立，则的取值范围为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 锐角的内角所对的边分别为，若，且，.
（1）求边的值；
（2）求内角的角平分线的长．
16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
17. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
参考公式及数据：，其中.
18. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
（ii）求的面积的取值范围.
19. 已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，.
（1）试判断在为凹函数还是凸函数?
（2）设，，，，且，求的最大值;
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值.产品
合格
不合格
合计
调试前
45
15
60
调试后
35
5
40
合计
80
20
100
0.025
001
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828