四川省阆中中学2024-2025学年高二上学期期中学习质量检测数学试卷（Word版附解析）

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（满分：150分 时间：120分钟 ）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效；
3.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆（）的左焦点为，则
A. B. C. D.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）

A. B.
C. D.
6. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ）
A B. C. D.
7. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（ ）
A 1B. 2C. 13D. 26
8. 已知圆：，若曲线上存在4个点到直线距离为2，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 椭圆的离心率
C. 的最大值是D. 面积的最大值为
10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ）
A. 直线过定点
B. 若，则
C. 若两条平行直线与间的距离为，则
D. 点到直线距离的最大值为
11. 中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”对应着数学曲线中的双纽线. 在平面上，把到两个定点，距离之积等于()的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线：，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）

A. 曲线上满足的点有且只有一个
B. 曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________．
13. 已知，，则的最小值为______.
14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知，两点，直线：.
（1）求直线AB的垂直平分线方程；
（2）若圆过，两点，且圆心在直线上，求圆方程.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题：
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求.
18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正弦值为.
①求的长；
②求平面与平面的夹角的余弦值.
19. 已知圆和点，直线．
（1）点A在圆Q上运动，且A为线段的中点，求点N的轨迹曲线T的方程；
（2）点P是直线l上的动点，过P作（1）中曲线T的两条切线、，切点为B，C，求直线所过定点D的坐标；
（3）设E为（1）中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F．试探究：x轴上是否存在定点G（异于点Q），使得为定值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．