四川省泸州市泸化中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率即可得倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为0，故其倾斜角为.
故选：B
2. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案.
【详解】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确；
对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误；
对于B选项，由于，但，故B选项错误；
对于D选项，由于，但，故D选项错误.
故选：C.
3. 如果直线与直线垂直，那么的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以.
故选：A
4. 若，，是空间中三个不同的平面，，，，则是的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
构造棱柱，然后根据线面平行的判定定理及性质定理判断.
【详解】如图所示，设平面为，平面为，为，直线为，直线为，为.
若，平面，，
所以，又，，所以，所以， 即充分性成立；
反之，若，平面，，
所以，又，，所以，所以，即必要性成立.
故是的充要条件.
故选：C.
【点睛】解决与线面关系有关的命题真假判断及充分条件、必要条件判断问题时，可采用构造法，即构造特殊几何体，使几何体中的棱、面符合题目条件，然后通过空间平行、垂直的判定定理及性质定理判断即可.
5. 设，点为双曲线的左顶点，线段交双曲线一条渐近线于点，且满足，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出点的坐标，再根据余弦定理即可求出．
【详解】解：，，
直线的方程为，
抛物线的一条渐近线方程为，
由，解得，，
，
，，
由余弦定理可得，
整理可得，
即，
故选：．
【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题．
6. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出线性约束条件可行域，再利用截距的几何意义求最小值.
【详解】约束条件的可行域，如图所示：
目标函数在点取得最小值，
即.
故选：A.
7. 已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出直线过定点，然后当时，原点O到l的距离最大，即可求出答案.
【详解】由可得，
由可得，所以直线过定点，
当时，原点O到l的距离最大，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A
8. 若圆：与圆：内切，则（ ）
A. 29B. 9C. D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由圆：，可得圆心，半径；
圆：可化，
可得圆心，半径，
所以，
由圆圆内切，所以，即，
解得：.
故选：C.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，取得最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】先判断出，，，再对四个选项一一判断：
对于A、B选项，由，即可判断；对于C，利用，即可判断；对于D，先判断出数列{an}为递增数列，再由当时，，当时，，即可判断.
【详解】因为，所以，，．
对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误；
对于C，因为，所以，故选项C正确；
对于D，因为，，可知，，所以等差数列{an}为递增数列，
当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确．
故选：ACD．
10. 已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的周长为4a
B. 若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则
C. 若，则e的最小值为
D. 若，则e的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设，，利用点差法和中点坐标公式可得，进而判断B；根据平面向量的坐标表示可得，结合选项计算即可判断CD.
【详解】A:根据椭圆的定义，的周长为，故A正确；
B:设，，则，
所以，，由得，
所以，即，故B不正确；
C:，
因为，
所以，
由，得，故C正确；
D:由，得，故D正确．
故选：ACD.
11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线∥平面，则点P的轨迹长度为
B. 若，则点P的轨迹长度为
C. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形
D. 若点P在棱BC上（不含端点），则过E，F，P的平面截该正方体所得截面为六边形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间垂直和平行找到P点的轨迹，可得选项AB的正误；作出符合条件的截面图可得选项CD的正误.
【详解】对于A：连接，如图所示，

在正方体中，，可得四边形为平行四边形，所以，
由平面，平面，所以平面，
同理可得平面， ，平面，
平面平面，
若直线平面，则点P的轨迹线段，长度为，故A正确；
对于B：取的中点，连接，
设交于点O，如图所示，

在正方形中，，，
所以，所以，即；
又分别为中点，所以平面，
又平面，所以；
因为，平面，所以平面，
因为，所以点P的轨迹线段，其长度为2，故B不正确；
对于C：延长，利用延长线与的交点作出截面图，如图所示，

直线与直线分别交于点，连接与交于点，
连接与交于点，连接，
五边形即为过E，F，C的平面截该正方体所得截面，故C正确.
对于D：点P在棱BC上，过点作的平行线，与相交于点，
连接与相交于点，连接与相交于点，连接，如图所示，

六边形即为过E，F，P的平面截该正方体所得截面，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.
作几何体截面的方法：(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面.
找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面交点法：各棱面与截平面的交线.
12. 已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率.
【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，已知关于原点对称，，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可；
首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角形，不合题意；
若为等边三角形，则，所以选项B有可能;
若为等边三角形，则,所以选项A有可能;
若为等边三角形，则；
综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.
故选：AB.
三、填空题（共20分）
13. 在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间点关于平面对称点的特点即可得到答案.
【详解】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以.
故答案为：.
14. 若双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离是________，焦距为________．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】根据已知求出，即得焦点到渐近线的距离和焦距.
【详解】由题得，所以.
所以焦点为，焦距为4，渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
故答案为：；4.
15. 已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为______.
【答案】144
【解析】
【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果.
【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，所以，高，
过作交于，连接，
因为是正四棱锥，易知，且，
所以正四棱锥的侧面积为，又底面积为，
故正四棱锥的表面积为144.

故答案为：144.
16. 已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点为直线与直线的交点时，取得最小值为
【详解】如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，
所以的最小值为，
因为，直线为，所以，
所以，
所以最小值是3
故答案为：3
四、解答题（共70分）
17. 已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用两条直线垂直条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．
（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．
【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．
18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
参考公式：，
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
【答案】（1）
（2）人
【解析】
【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程；
（2）将代入回归直线方程，即可得解.
【小问1详解】
解：由表格中的数据可得，
，
所以，，
，
所以，，，
所以，违章人数与月份之间的回归直线方程为.
【小问2详解】
解：当时，，
因此，预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人.
19. 已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为，．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M，N，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线上，两方程联立可求出圆心坐标，进而得出半径，从而求出圆的方程；
（2）根据条件得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，由弦长公式求出，则三角形面积可求.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为，
∵线段的中垂线方程：，又圆心在直线上，
则，∴，即,
∴，
∴圆C的方程为；
【小问2详解】
由条件得直线l：，
圆心C到直线l的距离，
，
∴．
20. 平面直角坐标系中，O坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数m作答.
（2）由给定条件，将双曲线方程化简为，再与点P的轨迹方程联立求出作答.
【小问1详解】
依题意，，而，则，消去m得：，
所以点P的轨迹方程是.
【小问2详解】
因双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，即，双曲线C的方程为，
由消去y并整理得：，设，，
则，，又以MN为直径的圆经过原点，即OM⊥ON，有，
而，
因此，，，解得，，
所以双曲线方程为.
21. 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）若，求二面角A-OP-G的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面OPM的一个法向量和平面AOP的一个法向量，利用，即可求解.
【小问1详解】
证明：
如图，延长OG交AC于点M.
因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点.
因为O为AB的中点，所以.
因为AB是圆的直径，所以，所以.
因为平面ABC，平面ABC，所以.
又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.
即平面PAC.
又平面OPG，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，

则，，，，，，
则，，，
平面OPG即为平面OPM，
设平面OPM的一个法向量为，
则
令，得.且
设平面AOP的一个法向量为，
则
令，得.且
设所求二面角的平面角为，
因为，
因为所求二面角为锐角，
所以二面角A-OP-G的余弦值为
22. 已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）0.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意，得2b，，结合隐含条件即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ），可知A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），求得F1M的方程为，记直线F1M与椭圆的另一交点为M′，设M（x1，y1）（y1＞0），M′（x2，y2），得N（﹣x2，﹣y2），联立直线方程与椭圆方程，求得M，N的坐标，代入斜率公式求解．
【详解】（Ⅰ）由题意，得，.
又，∴，，.
∴椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）
由（Ⅰ），可知，，.
据题意，直线的方程为.
记直线与椭圆的另一交点为，设，.
∵，根据对称性，得.
联立，消去，得.
∵，∴，.
∵，，
∴，即的值为0.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
月份
违章驾驶员人数