四川省宜宾市叙州区第一中学2024-2025学年高三上学期11月第一周周考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市叙州区第一中学2024-2025学年高三上学期11月第一周周考数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知抛物线，已知函数.设，则，若函数既有极大值也有极小值，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则的最小值（ ）
A．3B．C．6D．9
3．函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）
B．
C．D．
4. 在平面直角坐标系中, 已知 , ,, 则
的取值范围 是 ( )
B．C．D．
5．已知抛物线：的焦点为，准线为，，为抛物线上的两点（与坐标原点不重合），于，于，已知的中点的坐标为，与的面积比为，则的值为（ ）
A．4B．3C．1D．1或
6．正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．10B．9C．8D．7
7．某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厉就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数.设，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每小题5分，共3小题15分）
9．已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．D．为纯虚数
10．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则取值范围是D．若为边上的中点，则的最大值为
三、填空题（每小题5分，共3小题15分）
12.已知的展开项各项系数之和为2187， ．
13．已知曲线与直线相切，则 ．
14．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．
15．在公差不为0的等差数列an中，，且是与的等比中项.
(1)求an的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
16．某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.（结论不要求证明）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱底面，为的中点，且，.
（1）求证：平面；（2）求四棱锥体积；（3）求面与面所成二面角的余弦值.
18．已知函数．
(1)当时，求的值域．
(2)当时，讨论的单调区间．
19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若，直线与的斜率分别为与，求的值.
(3)求证：
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
DDBACCAC
多选题（每小题5分，共3小题15分）
【答案】ABC
10．【答案】BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD
11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，所以，则，
因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；
对于C，若为锐角三角形，则，，
则，则，即，
由正弦定理可知：，故C错误；
对于D，若D为边上的中点，则，
所以
由余弦定理知，得，
又，所以，
当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故选：ABD.
填空题（每小题5分，共3小题15分）
12．【答案】7
13．【答案】1
14．【答案】
【分析】原不等式的解集有且只有两个整数解等价于的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围.
【解析】设，则，
而的定义域为，故为上的奇函数，
（不恒为零），故为上的单调减函数，
又即为：，
也就是，故，
故的解集中有且仅有两个正整数，
若，则当时，，
此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意；
若，因为，，
故的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3，
不妨设，则的解集中有且仅有两个正整数，
设，，

故在上为增函数，由题设可得，
故，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．
15．【答案】(1)
(2).
【解析】（1）设的公差为，因为是与的等比中项，
所以，即，
整理得.
又，，所以，
则.
（2）由（1）可得，，
则①，
②，
①-②得
则.
16.【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1），
故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：
，
的可能取值为、、、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：；
（3），理由如下：
这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，
的可能取值为、、，
，
，
，
则，
故.
17．【详解】（1）∵平面，平面，∴，
又，，所以平面，又平面，
，为中点,,
又因为，∴平面；
（2）；
（3）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系得，设平面的法向量为
则，得， ，
令平面和平面所成的二面角为，.
18．【答案】(1)(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
，
令，得或，所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以，又，
因为，所以，
所以当时，，所以的值域为.
（2），
当时，，当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，令，得或2，当，即时，不符合题意，
当，即时，在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增，
当，即时，在上，单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
（3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可.
【解析】（1）由题意：.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设过点的切线方程为：，即，
由，消去，整理得：，
由，
整理得：，
所以.
（3）设（），的延长线交轴于点，如图：
、两点处切线斜率分别为，则.
设点的椭圆的切线方程为：，即，
由消去，
化简整理得：，
由得：
化简整理得：，
由韦达定理，得：，，
所以，，
所以要证明，只需证明：，
即
，
因为，所以上式成立，
即成立.