重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三上学期适应性月考卷（三）数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三上学期适应性月考卷（三）数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了已知，且，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）
A.85B.90C.95D.100
3.若复数，，则（ ）
A.-1B.1C. D.
4.在平行四边形中，是的中点，在上，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么要消除90%的污染物，至少需要的时间是（ ）h.（参考数据：）
A.45B.76C.109D.118
8.已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A.（3，4）B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.小球在内经过的路程为10cmD. 时，小球正在向上运动
10.在等腰梯形中，，，，点是梯形内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则，
B.当时，的最小值为2
C.若，则的面积为定值
D.若，则的最小值为
11.已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（ ）
A.存在且，使
B.若，则数列是递增数列
C.若，则数列的最大项为
D.若，设，的前项和为，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.等比数列的公比，其前项和为，且，，则_____..
13.已知，，，，则的值为_____.（用弧度制表示）
14.已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则_____.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列是递增的等比数列，其公比为，且中的项均是中的项，，当取最小值时，若，请用表示.
16.在中，角，，所对的边长分别为a，b，c，的中点为，记的面积为，已知，.
（1）若，求以及线段的长度；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
17.已知抛物线：的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于，两点.当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）；
（3）点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，证明：与的面积之比为定值.
18.已知函数.
（1）求证：；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若直线是曲线在点处的切线，求证：当时，除点外，直线与曲线有唯一公共点，且.
19.设：和：是两个项数为的非负整数数列，定义，.
（1）对于数列：1，2，3，10，11，12和：4，5，6，7，8，9，求的值；
（2）设均为项数为3且每项为0或1的数列，且对于任意，都有，求的最大值；
（3）若，数列A，B严格递增且每项不大于755，求的最大值.
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【解析】
1.∵，∴，故选B.
2.由正态密度函数的对称性，，故选B.
3. ，故选C.
4.设，则，又,∴，故选D.
5.由得,∴，当且仅当，取到等号，故选C.
6.由题意知：三人从5个景点中各自随机选择3个景点游玩，总的有种选法，所选景点全部不同有种，所以所求概率为，故选B.
7.由题意得，∴，故选C.
8.因为为奇函数，
所以其定义域关于原点对称，易知，所以，
即有，得到，
所以，
函数定义域为，得到，所以.
故，
此时有，
即，满足题意，
所以，
定义域为，
结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，
当时，，，
由，得到是唯一的极小值，
又在区间上有最小值，
所以，解得，故选A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】由题意，，∴，∴，
当时，小球位于最高点，则，，∴，故A，B正确；
对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误；
对于D，当时，由周期性，等价于，
此时，
由正弦函数的图象可知，图象自下而上穿过x轴，小球正在向上运动，故D正确，故选ABD.
10.取的中点E，对于A，由，
得，
所以，故A正确；
对于B，当时，，
点在上，由于到直线的距离为2，
此时点P与C重合，故取不到最小值2，故B错误；
对于C，若，则，
所以点在上，
由于，所以的面积为定值，故C正确；
对于D，∵，
∴，
所以点P的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆位于梯形内部的圆弧（圆心角为60°的扇形弧），
所以的最小值为，即为，故D错误，故选AC.
11. BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.由已知求得，，∴.
13.∵，∴，
又，∴，进而，
∵， ，∴，
又，∴，∴，
∴，
结合可知：.
14.∵是偶函数，∴，
即，从而，
又是奇函数，则，
∴，进而，
所以是周期为4的周期函数，
由当时，，得，，，，，即，，，
∴.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）由得即
解得，，
∴.
（2）由且是递增的等比数列，得.
故（且），
由于数列是递增数列，则当取最小值时，，即，
∴，
若，则，
∴.
16.（本小题满分15分）
解：（1）由正弦定理，，
又，∴，∴，
∵，
∵，
∴，
∴.
（2）∵，∴，
∴，
∵是锐角三角形，∴
∴，∴，∴.
∴.
17.（本小题满分15分）
（1）解：根据题意直线的斜率不为0，
可设直线：，，
代入抛物线方程得：，
∴，，，
∴，
当时，，∴，
∴，抛物线E的方程为.
（2）证明：由（1）可知，，则，
∴.
（3）证明：设，，
直线的方程：，直线的方程：，
由得，
∴，同理，，
∴，
由（2）知，则，
.
18.（本小题满分17分）
（1）证明：，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，即.
（2）解：令，则；
当时，∵，∴，
所以原不等式成立，
故实数的取值范围是.
（3）证明：，
所以在点处的切线方程：，
即：，与联立得：，
即证：当时，方程除外，还有另一根，且.
设，则.
又，，，
当时，在上单调递减：
当时，在上单调递增，
所以，
∵，∴，
又，所以存在唯一实数，使，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以当时，，
又，
所以存在唯一实数，使，
即：当时，方程除外，有唯一根，且，故结论成立.
19.（本小题满分17分）
解：（1）.
（2）若，则数列中必有两个数列前两项相同（因每项为0或1，前两项至多有2×2=4种组合）：
不妨设该二者为，，则必有（两数列的第三项也相同）或（两数列的第三项相异），
故不合题意；
当时，可构造：0，0，0；：0，1，1；：1，1，0；：1，0，1满足题意，
故n的最大值为4.
（3）记，，
显然，.
设，，
，
若或，则已有.
下不妨设且，
由平均值原理，，使得，且，
（其中，为集合P，Q的元素个数），
不妨设，则，，
，
且，
故
.
上式取等时，构造：，有，，
事实上，取A为0，1，…，30，725，726，…，755；B为347，348，…，408，
有满足题意，为所求最大值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
D
C
B
C
A
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
BCD
题号
12
13
14
答案
5000