江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高三上学期十一月测试数学试题

这是一份江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高三上学期十一月测试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
3．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ）

A．B．
C．D．
5．若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．或.D．或
6．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列bn，则数列bn的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．函数是定义在上的奇函数，下列命题中正确的有（ ）
A．若在上有最小值，则在上有最大值1
B．若，则当时，
C．若，则的图象关于点中心对称
D．若，则的图象关于直线对称
10．设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（ ）
A．
B．若，互为共轭复数，则
C．若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D．若复数为纯虚数，则
11．在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ）

A．平面
B．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
C．若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是
D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是 .
13．已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为 .
14．已知函数（）在上单调递增，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，.
(1)求实数的值；
(2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润）
16．（17分）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)证明：对任意实数，，；
(2)求证：是上的增函数；
(3)若命题，为假命题，求实数的取值范围.
17．（15分）已知向量．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，且，求的值域．
18．（15分）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由．
19．（17分）已知数列满足，对任意正整数、都有.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和；
(3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值.
高三数学参考答案
1．C
【分析】由已知可得函数在R上单调递减，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a的取值范围
【详解】由，
对任意实数，都有，可知函数在R上单调递减，
则有a>0a2≥11-a+7≥a，解得，所以实数a的取值范围为2,4.
故选：C.
2．A
【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论.
【详解】因为，，
所以应在，
所以，解得.
故最接近的数为.
故选：A.
3．D
【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围.
【详解】令，
则
当时，，∴，即，
令，则，
∵时，，
且时，，时，，时，，
∴，∴，
综上，.
故选：D.
4．C
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故选：C.
5．C
【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点.
【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与.
又的圆心为，半径为，与相距.
则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离.
即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于.
则或或.
故选：C
6．D
【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可.
【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：，
若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：
故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：.
故选：D
7．C
【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列bn的规律，再利用数列的周期性即可得结果.
【详解】根据斐波那契数列性质可得an中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，
因此新数列bn即为按照成周期出现的数列，周期为，
易知，一个周期内的三个数字之和为；
所以数列bn的前项的和为.
故选：C
8．B
【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解.
【详解】当时，函数，则，
令，解得，
故直线与相切，即.
当时，函数，则，
令，解得，
故直线与相切，即.
如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点.
故实数的取值范围为或.
故选：B.
9．ACD
【分析】对于AB，由奇函数性质即可判断；对于CD，由函数对称中心以及函数对称轴的定义即可求解.
【详解】对于A，因为函数是定义在上的奇函数，且若在上有最小值，
则在上有最大值1，故A正确；
对于B，若，
则当时，，
但与当时，矛盾，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，，故D正确.
故选：D.
10．BCD
【分析】A选项，利用复数的乘方运算得到A正确；B选项，设，，则；C选项，由复数的几何意义得到C正确；D选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出.
【详解】对于A：，A错；
对于B：令，，，，所以，故B正确；
对于C：，故z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C正确；
对于D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量的数量积等于零可判断A；求得直线与平面的法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值可判断B；利用向量法求得到平面的距离可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法求得的长可判断D.
【详解】因为直三棱柱中，，所以两两互相垂直，
于是以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，分别是的中点，在线段上，
所以，
对于A：因为在直三棱柱中，平面，
又，平面，所以，又，所以，
又，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，又，
则，
又平面，平面，故A正确；
对于B：为平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，故B正确；
对于C：若是的中点，若M是的中点，则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，又，
所以到平面的距离是，故C错误；
对于D：设，
则，
设直线与直线所成角为，又，
则，
当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求线线角，线面角，面面角的最大值与最小值，关键是用变量把动点的坐标或向量表示出来，进而用变量去表示这些角的余弦与正弦值，从而求得取最值时的变量值，进而解决有关问题.
12．3
【分析】设，，根据三角函数的性质及集合间的基本关系计算即可.
【详解】设，
显然，集合A非空.
当时，显然，
以下设，
此时，.
易知，当且仅当对任意的，有，
即，故整数的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】思路点睛：利用函数的迭代及集合的基本关系结合三角函数的有界性计算即可.
13．
【分析】设相关直线，分别求四点坐标，再结合向量共线的坐标表示分析运算可得，即可得离心率.
【详解】设双曲线的渐近线为，且，直线，直线，

联立方程，解得，不妨令，
同理可得：，，，
且，则，
因为三点共线，则，
则，
整理可得，
同理由三点共线可得，
即，
整理可得，
因为，即，则，解得，
即，所以双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用向量说明三点共线问题，可以避免斜率不存在的问题，使得问题更加严谨方便.
14．
【分析】在上恒成立，时，不合要求，时，，解得，，分，和三种情况，得到，化简可得，，由基本不等式求出的最大值为.
【详解】由题意，得，
因为在上单调递增，所以在上恒成立.
当时，，在上，，不符合题意；
当时，令，解得，.
当时，在上，，，，不符合题意；
当时，在上，，，，不符合题意；
当时，在上，，，；
在，，，；所以.
因此，有，化简可得，故
当且仅当，即时，等式成立.
故的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）代入函数值即可求出参数值；
（2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围.
【详解】（1）因为当时，，
所以，解得.
（2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以
当时，，即，
解得，，
当时，，
综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案；
（2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案；
（3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令得，，
所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以，对任意实数，，成立.
（2）任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数.
（3）命题，为假命题，
等价于，为真命题.
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算；
（2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，所以．
（2），
因为，所以，所以，
所以的值域为．
18．(1)，
(2)为定值，理由见解析
【分析】（1）将四点分别代入抛物线得到的值相同的两个点在抛物线上，从而得到抛物线方程，剩下两点代入椭圆中得到椭圆方程；
（2）联立方程组，消元得到关于的二次方程，由两个交点纵坐标为方程的两根，找到根与系数的关系，代入代数式得到固定值，即可得到结论.
【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得，，，，∴，在抛物线上，
故抛物线方程为
故，为椭圆上的点
∴解得
∴椭圆C方程
（2）设，Bx2,y2，
则∴∴
为定值．
19．(1)
(2).
(3)
【分析】（1）直接给赋值得到一个等比数列的关系式，求出an的通项；
（2）通过和前项和之间的关系求解通项即可；
（3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较的大小即可.
【详解】（1）对任意正整数、都有成立，，
所以令，得，，
∴数列an（）是首项和公比都为2的等比数列.
∴（）.
（2）由，得
，
故，
所以，
当时，，，
于是，，
当时，；
当时，
又时，，
综上，有，.
（3）因为，，
所以，
所以，
数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为.