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    精品解析:北京市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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    本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡和答题纸上,在试卷上作答无效.
    第一部分(选择题 共40分)
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 已知全集或,则集合( )
    A. B. C. 或D.
    2. 方程组的解集是( )
    A B.
    C. D.
    3. 命题“”的否定是( )
    A. B.
    C. D.
    4. 下列命题正确是( )
    A. 若,则B. 若,则
    C. 若,则D. 若,则
    5. 函数f(x)=x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是( )
    A. (2,+∞)B. (1,2)C. (0,1)D. (﹣1,0)
    6. 已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    7. 设奇函数在上为减函数,且,则不等式的解集为( )
    A. B. C. D.
    8. 已知函数,则下列图象错误的是( )
    A. B.
    C. D.
    9. 在函数①,②,③,④中,以2为最小值的函数的序号为( )
    A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
    10. 设函数,给出下列四个命题:
    ①当时,为奇函数;
    ②函数的图像关于点对称;
    ③当时,存在,使得有两个不同的零点;
    ④存在,使得函数有三个不同的零点.
    其中,真命题的个数为( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    第二部分(非选择题 共110分)
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
    11. 函数的定义域是______.
    12. 不等式的解集是________.
    13. 已知“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围为______.
    14. 已知函数,且当时,总有,则实数的取值范围是______.
    15. 设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________.
    三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
    16. 已知全集,集合,其中.
    (1)化简集合A,并求集合;
    (2)若,求集合;
    (3)若,都有或,求实数的取值范围.
    17. 已知函数,满足下列两个条件
    条件①:;
    条件②:;
    (1)求,值;
    (2)已知函数有两个不同正数零点.
    (ⅰ)求的取值范围;
    (ⅱ)若,求值.
    18. 已知函数.
    (1)判断函数是否具有奇偶性,并证明;
    (2)当时,判断在区间上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;
    (3)当时,求函数的值域.
    19. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
    (1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
    (2)设该地上班族总人数为,求该地上班族的人均通勤时间的表达式;并求的最小值,指明相应的的值.
    20. 已知二次函数,且.
    (1)求实数的值,并求函数在区间上的最小值.
    (2)求关于的不等式的解集.
    21. 如果是定义在R上的函数,且对任意的x∈R,都有,则称该函数是“函数”.
    (1)分别判断下列函数:
    ①;②;③是否为“函数”?
    (直接写出结论)
    (2)若函数是“函数”,求实数的取值范围;
    (3)设“函数”在R上单调递增,求所有可能的集合A与.

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