精品解析：江西省宜春市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据韦恩图确定阴影部分元素与集合的关系，结合交、并运算求阴影部分的集合.
【详解】由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于，
又，，
所以阴影部分的集合为.
故选：D
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“，”的否定是，.
故选：A
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项.
【详解】由题知，则同号，
当时，有，
当时，有，
故能推出，
当成立时，又，
对不等式两边同时乘以可得，
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
4. 已知函数，则（ ）
A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是增函数
C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是奇函数，且在上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数.
【详解】的定义域为．．即函数为奇函数．
当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数．
故选：B
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象知函数的定义域排除选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：A.
6. 已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和“1”可得的大小关系，再结合的单调性分析判断.
【详解】因为在内单调递增，则，即；
在内单调递增，则，即；
在内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.
故选：A.
7. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.
【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立，
不妨假设，则，可得，即，
可知函数在R上递减，
则，解得：，
所以的取值范围是.
故选：D.
8. 物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度（声强）随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象，划分为几何衰减､散射衰减和吸收衰减三种类型.声波的散射衰减和吸收衰减都遵从指数规律，即声强（单位：瓦/平方米）与传播距离（单位：米）之间有如下的函数关系：，其中为初始声强，为声波的衰减系数，且.若某声波传播米时，声强减小了，则声强减小时，传播距离大约为（ ）（参考数据：，）
A. 8.5米B. 9.0米C. 9.6米D. 10.2米
【答案】C
【解析】
【分析】利用声强与传播距离的函数关系结合指数与对数的运算即可求解.
【详解】解：由题知，当声波传播米时，声强减小了
所以，即
当声强减小时，
即
所以
由
所以，即
所以，即
因为，
所以米
故选：C.
【点睛】思路点睛：先由某声波传播米时，声强减小了，结合声强与传播距离的函数关系，将衰减系数表示出来，再根据声强减小时，列出声强与传播距离的函数关系式，进而联立求解.
9. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，，结合时，，可判断AB；求出函数的周期，进而可判断CD.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
则，所以，
因为为偶函数，
所以，即，
则，故A错误；
由当时，，得，
则，故B错误；
，则，
所以，
所以，故D正确；
对于C，由，得，
若为奇函数，则也为奇函数，
令，则为奇函数，则，
又，矛盾，
所以不是奇函数，即不是奇函数，故C错误.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
10. 下列说法正确的选项是（ ）
A. 偶函数的定义域为，则
B. 若不等式的解集为或，则
C. 一次函数满足，则函数的解析式为
D. 若集合中至多有一个元素，则或
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据偶函数的定义域关于原点对称，可列方程，求解即可；对于B，由一元二次不等式的解集得一元二次方程的根，求解即可；对于C，利用待定系数法求解析式；对于D，根据方程类型分类讨论，再结合题意列不等式，求解即可.
【详解】对于A，因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称，
所以，解得，故A正确；
对于B，由题意，且为方程的两个不同的根，
则，解得，所以，故B正确；
对于C，设，所以，
又，所以，解得或，
所以或，故C错误；
对于D，若集合A有1个元素，当时，，符合题意；
当时，方程有两个相同根，则，
此时，符合题意；
若集合A有0个元素，则，即方程无实根，
则，综上所述，或，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最小值是1
C. 的最小值是4D. 的最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式.
【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确.
B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误.
C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误.
D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确.
故选：AD
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为函数的“倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是（ ）
A. 若为函数的“伴随区间”，则
B. 函数存在“伴随区间”
C. 若函数存在“伴随区间”，则
D. 二次函数存在“3倍伴随区间”
【答案】AD
【解析】
【分析】对于ABC：利用伴随区间的定义来判断；对于D：不妨取，则，列方程求解即可.
【详解】对于A．在上单调递增，又
∴即，∴（舍）或，A正确；
对于B．在和0,+∞上单调递减，若存在“伴随区间”则，，
即,，解得或，与矛盾，B错误；
对于C．在上单调递减，假设存在“伴随区间”，，则且，
∴，
∴即或，
因此，
∴在内有两个不同根，
令，∴，，，，
∴，C错误；
对于D．不妨取，则，
所以，解得，故存在，，所以D正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
13. 已知集合，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可．
【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此，
若，则，此时，满足题意，
故答案为：．
14. 已知函数，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据分段函数解析式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：
15. 若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或，
当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，
解得或.
故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
16. （1）求值：+；
（2）求下列关于x的不等式的解集：．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数运算和对数运算公式计算即可；
（2）将分式不等式转化为整式不等式求解即可；
【详解】（1）
.
（2）由不等式，得，即，解得，
所以不等式的解集为.
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先解指数不等式，然后由交集定义计算即可；
（2）根据充分不必要条件得集合间的包含关系，列不等式组，求解即可；
【小问1详解】
由题意得，即，解得，
所以；
当时，，所以.
【小问2详解】
因为“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集，
所以或，解得，
所以实数m的取值范围是.
18. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．
（1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；
（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．
【答案】（1）200%，30
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论；
（2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案.
【小问1详解】
解：由题意知，当时，
，当且仅当，即时取等号；
当时，，
在上单调递减，.
又，∴当月研发经费30万元时，研发利润率取得最大值200%.
【小问2详解】
由（1）可知，此时月研发经费，
于是，令，整理得，解得：．
因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是．
19. 定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当x>0时，．
（1）求的值
（2）求证：在上是单调递增函数并解关于的不等式：
（3）已知，若对所有及恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）令，即可求值；
（2）先令，判断函数的奇偶性，再根据单调性的定义证明即可；
（3）由（2）知函数的最大值为，所以得对恒成立，再根据一次函数的单调性列不等式组，求解即可.
【小问1详解】
由题意，令，则，
解得.
【小问2详解】
由题意，令，，则，即f−x=−fx，
又定义域为，则函数y=fx为奇函数；
任取，且，则，
由题意得，又，则，
即，所以在上是单调递增函数.
所以对于不等式，得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
由（2）可知，函数的最大值为，且，
所以由对所有的成立，
可得对恒成立，即恒成立，
令，
则，
解得或，
即实数的取值范围为.
20. 已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”．
（1）若函数是“类函数”，求实数的值；
（2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值；
（3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由．
【答案】（1）
（2），.
（3）存在，使得函数.
【解析】
【分析】（1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组即得解；
（2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解；
（3）求出，得到时，，即得解.
【小问1详解】
由题得，对于任意实数x，都有，
即，所以，
即，所以
所以
【小问2详解】
由题得，对于任意实数x，都有，
，，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
同理，，
对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；
由题得，
所以，.
【小问3详解】
由题得，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在，使得函数.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题.