浙江省湖州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

这是一份浙江省湖州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为( )
A. 14B. 12C. 34D. 1
2.二次函数y=2(x-2)2-5的顶点坐标是( )
A. (-2,5)B. (2,5)C. (-2,-5)D. (2,-5)
3.从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是( )
A. 13B. 12C. 23D. 19
4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=36∘，则∠BOC的大小是( )
A. 72∘B. 54∘C. 36∘D. 18∘
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上．若∠BOD=120∘，则∠DCE=( )
A. 120∘B. 60∘C. 100∘D. 80∘
6.已知抛物线的顶点坐标是2,1，且抛物线经过点3,0，则这条抛物线的函数表达式是( )
A. y=x-22+1B. y=x+22+1C. y=-x+22+1D. y=-x-22+1
7.如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是( )
A. 37°
B. 74°
C. 53°
D. 63°
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，点B的坐标为(1,0)，则下列结论中，不正确的是( )
A. AB=4
B. b2-4ac>0
C. ab<0
D. a-b+c<0
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(-2,0)，对称轴为直线x=-12.对于下列结论：①abc<0；②2a+c=0；③am2+bm<14(a-2b)(其中m≠-12)；④若A(x1,y1)和B(x2,y2)均在该函数图象上，且x1>x2>1，则y1>y2.其中正确结论的个数共有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E.设∠A=α，∠C=β( )
A. 若α+β=70°，则DE- m 20°
B. 若α+β=70°，则DE- m 40°
C. 若α-β=70°，则DE- m 20°
D. 若α-β=70°，则DE- m 40°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知抛物线y=k-2x2的开口向上，写出一个满足条件的k值 ．
12.做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为 (结果精确到0.1)
13.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是 ．
14.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点(位于AB两侧)，CD=AD，且∠ABC=70∘，则∠BAD的度数是 ．
15.在半径为5的圆O中AB,CD分别是它的两条弦，且AB/​/CD，其中AB=8，CD=6，求此时这两条弦之间距离为 ．
16.在平面直角坐标系内，已知点A(-1,0)，点B(1,1)，若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如果a3=b4=c5，且3a-2b+c=12，求a-b+c的值．
18.(本小题8分)
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．
(1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P；
(2)求AC的长．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且位于AB异侧，BC，AD的度数分别为60°，100°，请仅用直尺按要求作图．
(1)画出一个大小为30°的角，并写出该角．
(2)画出一个以AD为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形．
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
(1)求证：DB=DC；
(2)若∠EAD=60°，BC=2 3，求BC的长度．
21.(本小题8分)
如图，在⊙O中，弦AD=BC，OE⊥AB于E，OH⊥BC于H．
(1)求证：AB=CD．
(2)若⊙O的半径为5，CD=8，BC=4，求OE+OH的长．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD⌢的中点，连结CD，CA，AD.延长AC，DB相交于点E．
(1)求证：OC//BE．
(2)若CE=4 5，BD=6，求⊙O的半径．
23.(本小题12分)
已知二次函数y=x2-2m-1x+m2-m(m是常数，且m≠0)
(1)证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
(2)若An-3,y1，B-n+1,y2是该二次函数图象上的两个不同点，当y1=y2时，求二次函数表达式；
(3)若二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2(其中x1>x2)，t是关于m的函数．且t=1-x2x1，当t24.(本小题12分)
定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．
(1)概念理解：如图，在▵ABC中，∠BAC=90∘，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；
(2)问题探究：已知一条抛物线经过x轴的两点E、F(E在F的左边)，E1,0且EF=2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
(3)应用拓展：将抛物线y1=-x2+2 3x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2.抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N(M在N左侧)，把▵PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推⋯，请求出当第2025次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．
【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，
∴落在红色区域的概率=14．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点式为y=2(x-2)2-5，
∴其顶点坐标为：(2,-5)．
故选：D
3.【答案】C
【解析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为46=23．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠BAC=36∘，
∴∠BOC=2∠BAC=72∘，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得∠A=60∘，再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角求解．
【详解】解：∵∠BOD=120∘，
∵∠A=12∠BOD=60∘，
∴∠DCE=∠A=60∘．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】本题考查了y=ax-h2+k的图象和性质，对于二次函数y=ax-h2+k，其顶点坐标为h,k，设抛物线的函数表达式为y=ax-22+1，将点3,0代入据此及可求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是2,1，
∴设抛物线的函数表达式为y=ax-22+1；
将点3,0代入得：0=a3-22+1，
解得：a=-1，
∴抛物线的函数表达式为y=-x-22+1，
故选：D
7.【答案】C
【解析】解：如下图，连接OA，
∵A是劣弧DF的中点，
即弧DA=弧FA，
∴∠DOA=∠FOA，
∵∠EOD=32°，
∴∠DOA=∠FOA=12(180°-∠EOD)=74°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=12(180°-∠DOA)=53°，
即∠CDA=53°．
故选：C．
首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA=74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点B的坐标为(1,0)，
∴A(-3,0)，
∴AB=1-(-3)=4，所以选项A正确，不合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，所以选项B正确，不合题意；
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b=2a>0，
∴ab>0，所以选项C不正确，符合题意；
∵x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，所以D正确，不合题意．
故选：C．
用抛物线的对称性可确定A点坐标为(-3,0)，则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a>0，再利用对称轴方程得到b=2a>0，则可对选项C进行判断；利用x=-1时，y<0，即a-b+c<0和a>0可对选项D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-12，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，
把(-2,0)，(1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，可得：
4a-2b+c=0a+b+c=0，
解得b=ac=-2a，
∴2a+c=0，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a<0，
∴b=a<0，c=-2a>0，
∴abc>0，故①错误；
∵am2+bm=am2+am=a(m+12)2-14a．14(a-2b)=14(a-2a)=-14a，
∴am2+bm-14(a-2b)=a(m+12)2，
又∵a<0，m≠-12，
∴a(m+12)2<0，
即am2+bm<14(a-2b)(其中m≠-12)，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-12，且抛物线开口朝下，
∴当x>-12时，y随x的增大而减小，
∵x1>x2>1>-12，
∴y1故选：B．
根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法得到b=a，c=-2a，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据am2+bm=am2+am=a(m+12)2-14a．14(a-2b)=14(a-2a)=-14a，a<0，m≠-12，可以得到a(m+12)2<0，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接BE，设DE的度数为θ，
则∠EBD=12θ，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵∠A=α，
∴∠AEB=90-α，
∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+12θ，
∴90°-α=β+12θ，
解得：θ=180°-2(α+β)，
即DE的度数为180°-2(α+β)，
A、当α+β=70°时，DE的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；
B、当α+β=70°时，DE的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；
C、当α-β=70°时，即α=70°+β，DE的度数是180°-2(70°+β+β)=40°-4β，故本选项错误；
D、当α-β=70°时，即α=70°+β，DE的度数是40°-4β，故本选项错误；
故选：B．
连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE=90°，∠AEB=90-α，再根据三角形外角性质得出90°-α=β+12θ，得到DE的度数为180°-2(α+β)，再逐个判断即可．
本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
11.【答案】3(答案不唯一)
【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k-2>0，据此求出k的范围，得到合适的k值．
【详解】解：因为抛物线y=k-2x2的开口向上，
所以k-2>0，即k>2，故k的取值范围是k>2，
则k可以取3．
故答案为：3(答案不唯一)．
12.【答案】0.2
【解析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．
【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2，
故答案为：0.2
13.【答案】8
【解析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：红球m个，白球8个，黑球n个，
∴取出白球的概率为8m+8+n，取出的不是白球的概率为m+nm+8+n，
∵取得白球的概率与不是白球的概率相同，
∴8m+8+n=m+nm+8+n，
∴m+n=8，
当m+n=8时，原分式方程有意义，
∴m与n的和是8，
故答案为：8．
14.【答案】35∘/35度
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据∠BAD=∠DAC-∠BAC，只要求出∠DAC,∠BAC即可．
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠ABC=70∘，
∴∠BAC=20∘，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠ADC=∠B=70∘，
∴∠DAC=∠DCA=55∘，
∴∠BAD=∠DAC-∠BAC=35∘，
故答案为：35∘．
15.【答案】1或7
【解析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论．
连接OC、OA，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF,AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．
【详解】解：连接OA,OC.过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
当AB和CD在圆心的同侧时，如图所示，
∵AB//CD,OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∵OE⊥AB,OF⊥CD，
∴AE=12AB=4,CF=12CD=3，
根据勾股定理，得OE= AO2-AE2= 52-42=3,OF= OC2-CF2= 52-32=4，
则EF=OF-OE=1；
当AB和CD在圆心的两侧时，如图所示，
∵AB//CD,OE⊥AB，
∴EF⊥CD，
∵OE⊥AB,OF⊥CD，
∴AE=12AB=4,CF=12CD=3，
根据勾股定理，得OE= AO2-AE2= 52-42=3,OF= OC2-CF2= 52-32=4，
则EF=OF+OE=7．
故答案为：1或7．
16.【答案】1≤a<98或a≤-2
【解析】分a>0，a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【详解】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b
∵点A(-1,0)，点B(1,1)，
∴-k+b=0k+b=1
解得，k=12b=12
∴y=12x+12
∵抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令12x+12=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0
∴△=9-8a>0
∴a<98
①当a<0时，a+1+1≤0a-1+1≤1
解得：a≤-2
∴a≤-2
②当a>0时，a+1+1≥0a-1+1≥1
解得：a≥1
∴1≤a<98
综上所述：1≤a<98或a≤-2．
故答案为：1≤a<98或a≤-2．
17.【答案】解：令a3=b4=c5=k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∵3a-2b+c=12，
∴9k-8k+5k=12，
∴k=2，
∴a=3k=6，b=4k=8，c=5k=10，
∴a-b+c=6-8+10=8．
【解析】令a3=b4=c5=k，从而表示出a，b，c.再代入3a-2b+c=12，即可求出k的值，于是可以解决问题．
本题考查比例的有关知识，设a3=b4=c5=k，是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，
则点P即为所求．

(2)由勾股定理得，AC= 42+22=2 5．
【解析】(1)连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．
(2)利用勾股定理计算即可．
本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，∠CAB=30°；

(2)如图：等腰△DAE为所求；

【解析】(1)由BC的度数为60°，可知它所对的圆周角度数为30°，由此即可解题；
(2)由AD的度数为100°，AB是⊙O的直径，可得BD的度数为80°，进而可得∠DAB=∠DAO=40°，∠CAD=70°，延长DO交AC与E点即可得到∠AED=70°，从而可得等腰三角形△DAE．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
20.【答案】(1)证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠BCD，∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴DB=DC；
(2)解：连结OB、OC，如图，
∵∠DCB=∠DBC=∠EAD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，OB=OC=BC=2 3
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∴BC的长度=120×π×2 3180=4 33π.
【解析】(1)先根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，再利用圆内接四边形的性质得到∠EAD=∠BCD，利用圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，所以∠CBD=∠BCD，从而得到结论；
(2)连结OB、OC，如图，利用(1)的结论得到∠DCB=∠DBC=∠EAD=60°，则△BCD为等边三角形，所以∠BDC=60°，OB=OC=BC=2 3，根据圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据弧长公式求解．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R).也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．
21.【答案】【小题1】
证明：∵AD=BC，
∴AD⌢=BC⌢，AD⌢+BD⌢=BC⌢+BD⌢，
即AB⌢=CD⌢，
∴AB=CD．
【小题2】
解：连接OB，如图所示：
∵AB=CD=8，OE⊥AB，
∴EB=4．
由勾股定理，得OE= OB2-EB2= 52-42=3．
同理可得OH= 21．
∴OE+OH=3+ 21．

【解析】1.
本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；
由题意易得AB⌢=CD⌢，进而问题可求证；
2.
连接OB，由勾股定理，得OE=3.根据垂径定理可进行求解．
22.【答案】【小题1】
证明：∵C为ABD⌢的中点，
∴AC⌢=CD⌢，
∴AC=DC,OC⊥AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴BE⊥AD，
∴OC//BE；
【小题2】
解：连结BC，则∠ACB=90∘，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC//BE，
∴∠OCA=∠E，
∴∠OAC=∠E，
∴EB=AB，
∵∠ACB=90∘，
∴BC⊥AE，
∴CA=CE=4 5，
∴AE=2CE=8 5，
设⊙O的半径r，则EB=AB=2r，
∴DE=BD+EB=6+2r，
∵AB2-BD2=AE2-DE2=AD2，
∴(2r)2-62=(8 5)2-(6+2r)2，
整理得r2+3r-40=0，
解得r1=5,r2=-8(舍去)，
∴ ⊙O的半径为5．

【解析】1.
本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；
根据垂径定理的推理可知OC⊥AD，由直径对直角可知BE⊥AD，进而可证明OC//BE；
2.
连结BC，则∠ACB=90∘，利用等腰三角形的性质可证∠OAC=∠OCA，由平行线的性质可得∠OCA=∠E，进而可证EB=AB，设⊙O的半径r，由勾股定理可知AB2-BD2=AE2-DE2=AD2，进而可得方程(2r)2-62=(8 5)2-(6+2r)2，解方程即可．
23.【答案】【小题1】
证明：在二次函数y=x2-2m-1x+m2-m中，
∵Δ=-2m-12-4×1×m2-m=1>0，
∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
【小题2】
解：∵An-3,y1，B-n+1,y2是该二次函数图象上的两个不同点，
∴当y1=y2时，点A,B是二次函数上关于对称轴对称的两个点，
∴二次函数对称轴为n-3+-n+12=-1，
∴x=--2m-12=-1，
解得，m=-12，
∴二次函数解析式为：y=x2-2×-12-1x+-122--12=x2+2x+34；
【小题3】
解：令y=0，则x2-2m-1x+m2-m=0，
∵Δ=-2m-12-4m2-m=1，
∴x=-b± b2-4ac2a=2m-1±12，
∵x1>x2，
解得，x1=m，x2=m-1，
∵t=1-x2x1，
∴t=1-m-1m=1m，
如图所示，
当t=m时，m=1m，
解得，m=±1，
∴当t1或-1
【解析】1.
本题主要考查二次函数与x轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与x轴交点的判定方法“Δ>0，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键．
根据二次函数与x轴交点的判定方法Δ>0进行判定即可；
2.
当y1=y2时，点A,B是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线x=n-3+-n+12，解出m的值，代入即可求解；
3.
分别用含m的式子表示出x1,x2，再代入t=1-x2x1，得到t是关于m的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解．
24.【答案】【小题1】
解：证明：∵∠BAC=90∘，点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD=12BC，
∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点，
∴AD=AC，
∴AD=AC=CD，
∴▵ACD是等边三角形，
∴以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；
【小题2】
∵E1,0且EF=2，点F在x轴上且E在F的左边，
∴F3,0
∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G，
∴▵EFG是等边三角形，
∴xG=xE+xF2=2，yG= 22-12= 3，
①当G2, 3时，设抛物线解析式为y=ax-22+ 3把点E1,0代入得：a+ 3=0，
∴a=- 3，
∴y=- 3x-22+ 3，
②当G2,- 3时，设抛物线解析式为y=ax-22- 3，
把点E1,0代入得：a- 3=0
∴a= 3，
∴y= 3x-22- 3，
综上所述，这条抛物线的解析式为y=- 3x-22+ 3或y= 3x-22- 3；
【小题3】
∵抛物线y1=-x2+2 3x+9=-x- 32+12，
∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2=-x- 32+3，
∴P 3,3，M0,0，N2 3,0，
∴PM=MN=PN=2 3，
∴▵PMN是等边三角形，
∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P14 3,0，第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P37 3,3，
即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为： 3+n×2 3=2n+1 3，
∵2025÷3=675
∴2×2025+1× 3=4051 3，
∴第2025次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标4051 3,3．

【解析】1.
由Rt▵ABC中AD是斜边BC的中线可得AD=CD，由抛物线对称性可得AD=AC，即证得▵ACD是等边三角形；
2.
设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得▵EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标，由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式；
3.
根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边▵PMN，所以即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为 3+n×2 3=2n+1 3，2025能被3整除，代入即能求此时点P坐标；
本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
抛掷总次数
50
100
500
800
1500
3000
5000
杯口朝上频数
5
15
100
168
330
660
1100
杯口朝上频率
0.1
0.15
0.2
0.21
0.22
0.22
0.22