江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷

这是一份江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷，共9页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2024.11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则的元素个数为
A．1B．2C．3D．4
2．设复数，则的虚部是
A．1B．C．iD．
3．等比数列的各项均为正数，若，，则
A．588B．448C．896D．224
4．已知向量，，，则向量在上的投影向量为
A．B．C．D．
5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围
A．B．C．D．
6．已知为第一象限角，且，则
A．9B．3C．D．
7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．的最大值为D．在上单调递增
10．已知函数的导函数为
A．只有两个零点B．
C．是的极小值点D．当时，恒成立
11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则
A．存在，使得
B．当时，存在，使得平面
C．当，时，四面体的体积为
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．（，答案保留整数）
13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．
14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16．（15分）已知函数，．
（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；
（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．
17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；
（3）求使得不等式成立的的最大值．
18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）若二面角的余弦值为，求．
19．（17分）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测
数学试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C 【解析】，共3个元素，选C．
2．【答案】B 【解析】，虚部为，选B．
3．【答案】B 【解析】，∴，∴或（舍）
，选B．
4．【答案】D 【解析】，∴
在上的投影向量，选D．
5．【答案】D 【解析】时，无解，∴或；时，无解，
∴则，选D．
6．【答案】C 【解析】，∴，，选C．
7．【答案】A 【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A．
8．【答案】A 【解析】，∴，∴，
∴ ，选A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】AC 【解析】为偶函数，A对．，∴为奇函数，B错．，C对．，，在单调递增，单调递减，D错．
10．【答案】ABD 【解析】，或3，在单调递减，单调递增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A对．
关于对称，B对．是极大值点，C错．时，，恒成立，D对．
11．【答案】BCD 【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错．对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D，如图建系，，，， ，，，，
∴，∴，D对．
时，，时，到平面的距离是到平面距离的
，其中表示到平面的距离，是到平面距离，
，C对，选BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】31 【解析】如图，，，，
设，则，，，∴，∴
．
13．【答案】（1，0） 【解析】，，为等差数列，即可以是．
14．【答案】 【解析】关于对称，则
∴，则关于对称，（第一空）
，
∴，则．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．
（2），∴，∴，．
16．【解析】（1）设与切于，，∴
∴切线方程为，令 此时在处的切线方程为，即是的切线 联立，∴，∴在处的切线为
∴也是的切线．
（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，
，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．
若选③， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增 时，且，，，∴．
17．
【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．
（2）假设存在，∴
为常数，∴ 解得，
∴存在使成等差数列，且公差为1．
（3）由（2）知，∴ ∴
令， ∴在上单调递减，注意到，，
∴时，，∴．
18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴ ，∴平面，又∵，分别为，的中点 ∴，∴平面，∵平面，∴平面平面
（2）如图建系
∵，，，∴，，，
∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，
∴到平面的距离．
（3）仿（2）建系，设，∴，，，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
∴，
显然二面角平面角为锐角，∴，∴，即．
19．【解析】（1）时，，，令
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
（2）对恒成立对恒成立而，，当时，，∴．
（3）先证右边，证
只需证：，由（1）知当时，（当且仅当时取“=”）
∴，令，∴
此时右边得证再证左边：易知时，，∴∴，
即，∴，左边得证！
综上：不等式得证！