浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是．
故选：B．
2. 已知平面，，直线，且，则“”是“∥”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当，时，∥或，
当，∥时，与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，
所以“”是“∥”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
因为，所以，
所以，，
，
故选：A．
4. 已知，两直线，若，则的最小值为（ ）
A. 12B. 20C. 26D. 32
【答案】D
【解析】由得：，
化简得：，
，
当且仅当时等号成立，
故选：D.
5. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ）
A. 事件发生的概率为B. 事件相互独立
C. 事件是互斥事件D. 事件发生的概率为
【答案】B
【解析】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，
有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12个，
事件含有的基本事件有：43，共1个．
事件含有基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7个，
事件发生的概率为，故A正确；
，，，，不相互独立，故B错误；
事件两者不可能同时发生，它们互斥，故C正确；
事件中含有8个基本事件，共有基本事件12个，因此，故D正确.
故选：B．
6. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A. －1B. C. 1D.
【答案】C
【解析】由得，圆心坐标，半径为8，
直线的方程化为，
由，解得，
所以直线l过的定点，且，所以点M在圆C内，
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线l，
所以，
故选：C
7. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A. 与的夹角为
B.
C.
D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
【答案】D
【解析】由八卦图可知与的夹角为，而，故A错
由，故B错；
易知，又，所以，
而，所以，即C错误；
因为，即与夹角为，
易知在上的投影向量为，即D正确.
故选：D
8. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设知，，
由正弦定理得，
即,
又，所以，所以，得，所以，
又，
即，又锐角，所以，所以，
所以，
即，
所以的取值范围是.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知甲组数据为：，乙组数据为：，则下列说法正确的是（ ）
A. 这两组数据的第80百分位数相等
B. 这两组数据的极差相等
C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变
D. 甲组数据比乙组数据分散
【答案】AC
【解析】对于A，由，得甲组数据的第80百分位数为，由，乙组数据的第80百分位数为，故A 正确；
对于B，根据极差定义，极差等于最大子减去最小值，可知甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故B错误；
对于C，根据均值定义可知甲组原数据均值为，去掉最值后均值为，乙组原数据均值为，去掉最值后均值为，故C正确；
对于D，由C知甲乙两组平均值都为，根据方差公式甲组
乙组数据方差为
，则，所以乙组数据分散，故D错误.
故选：AC
10. 已知椭圆，点为椭圆两焦点，点为椭圆上的动点，过点作的外角平分线，过椭圆的焦点作直线的垂线，垂足是.现有一条长度为4的线段在直线上运动，且始终满足为锐角，则（ ）
A. 点的轨迹方程是
B. 点有可能在以为直径的圆上
C. 点不可能在直线上
D. 线段的中点的纵坐标的取值范围是
【答案】ACD
【解析】如图所示，椭圆长轴长为4，延长与的延长线交于E，连结.
由角平分线的性质，，所以关于Q点对称，
所以为中点，且，所以为中位线，
所以，
因为P在椭圆上，由椭圆的定义，，所以，
故Q的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆，即，故A正确；
若Q在以MN为直径的圆上，则，不符题意，故B错误；
又因为与圆相离，故不可能在m上，故C正确；
如图所示，当线段MN在位置时，中点坐标，
此时以MN为直径的圆刚好与的轨迹相切，
当Q在切点位置时，，
当线段MN在位置时，中点坐标，
此时以MN为直径的圆也刚好与的轨迹相切，
当Q在切点位置时，，
所以若要始终为锐角，则MN的中点E不能在线段之内，
所以MN中点纵坐标的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角的正弦值为
D. 若，那么点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，以分别为轴建立坐标系，
则
设平面的法向量，
由 得，令得，所以取，
因为，故，所以直线平面，故A正确;
由题意得三棱锥的外接球半径为,
所以三棱锥的外接球表面积为，故B正确；
因为，所以，所以，故C错误；
因为Q为正方形内一动点（含边界），设，
由得，即，在正方形内的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆周， 那么Q点的轨迹长度为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角大小为________．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则，又，所以.
故答案为：.
13. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则，令可得，所以，
设为平面的一个法向量，
则，令可得，所以
设平面与平面所成角为，，
则，
故平面与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作轴的垂线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），
当x＝c时，代入双曲线方程，解得：y＝±，
设B（c，），C（c，），则直线A1B的斜率k1，
直线A2C的斜率k2，
由A1B⊥A2C，则k1×k2＝﹣1，即1，则1，
双曲线的离心率e，故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：
（1）求的值；
（2）求这100户居民问卷评分的中位数；
（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在内的概率．
解：（1）由频率分布直方图，得，解得.
（2）由频率分布直方图，得数据落在的频率为，
数据落在的频率为，
因此中位数，有, 解得，
所以中位数为77.5分.
（3）评分在对应的频率为0.1，0.2，
从评分在和内的居民中共抽取6人，
则评分在占2人，记为，评分在占4人，记为A,B,C,D，
从6人中选取4人的样本空间
，共15个样本点，
这4户居民中恰有1户的评分在内的事件
，其8个样本点，
所以这4户居民中恰有1户的评分在内的概率.
16. 在中,角的对边分别为,且．
（1）求角的大小；
（2）若，角的平分线交于点，求线段的长．
解：（1）由，
由正弦定理可得,
又，
所以，
所以，可得，
又，所以，所以，
可得，
（2）在中，，
由余弦定理得，
解得（舍），或，
由，得，
即，
故线段AD的长为.
17. 如图在四棱锥中,,,,,，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由
解：（1）取AB的中点F，连接CF、QF，
因为Q，F分别为AE、AB的中点，所以，且，
又因为，，所以，且，
所以四边形QFCD为平行四边形，
所以，且平面ABC，平面ABC，
所以平面，
（2）取EB的中点G，连接AG、DG，
因为，所以是等边三角形，
所以，且，
因为，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，所以，
中，，
所以，，AG、BE在平面ABE中相交于点G，
所以平面ABE，
以G为原点，以GA、GB、GD方向分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
假设在棱上是否存在点，设，
则，
设平面ACD的一个法向量为m=x,y,z，所以，
则，令，则，
所以平面ACD的一个法向量为，
直线与平面所成的角，
则，
整理得：，解得，或，都符合题意，
所以，或，
故在棱上是存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或
18. 如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点．
（1）若直线的斜率为1，求AB的值；
（2）求点的轨迹方程；
（3）若两条切线与轴分别交于点，求的最小值．
解：（1）直线l为，圆的半径，圆心到直线的距离，所以.
（2）由（1）知，直线l的斜率不能为0，
故可设直线l的方程为，
代入圆M的方程，消去y，得：,
设，
则，，
过点A的圆的切线方程为：①
过点B圆的切线方程为：,②
由①②解得,所以点P的轨迹是直线.
（3）①中令,,
②中令,,
则.
当时，最小值为.此时直线l为，.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱锥的体积；
②是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由椭圆的定义知：，BF1+BF2=2a，
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为；
（2）①当，，则l：与联立，由得或，
所以（因为点A在x轴上方）以及，
，，.
②O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设折叠前Ax1,y1，Bx2,y2，折叠后A，B在新图形中对应点记为，，，
折叠前周长是8，则折叠后周长是6，
由，，故，
设方程为，
由，得，
得，，
，，
所以，（ⅰ）
又，
所以，（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）可得，
因为，
即，
所以，
即，去分母并整理得到.
设，则方程变为,解得，，
所以，，则，
检验：当时，
这与矛盾.故不存在满足题意.