江苏省扬州市邗江区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省扬州市邗江区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 两条直线，之间的距离为， 圆与圆的公切线有， 已知直线，则下列结论正确的是， 圆与圆相交于、两点，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由直线，
则，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以.
故选：A
2. 两条直线，之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 13
【答案】B
【解析】两条直线的方程分别为：，，
两条直线之间的距离，
故选：B.
3. 椭圆的焦点在x轴上，离心率为，则实数k的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 12
【答案】B
【解析】由已知得，则，
所以，解得.
故选：B.
4. 若双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. y=±2xB. y=
C. D.
【答案】B
【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.
5. 已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以点在圆的外部，
设以为圆心的圆的半径为：r，
则，解得，
所以所求圆的方程为：.
故选：C
6. 圆与圆的公切线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】由圆得，
设圆心为，则，半径；
由圆得，
设圆心为，则，半径；
则两圆的圆心距，两圆的半径之和，
所以，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，
所以两圆外切，所以两圆有条公切线，
故选C.
7. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
故选：A．
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，，所以直线的倾斜角为，
由椭圆焦半径公式得，
，
，，即，
化简得，.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角是
B. 过与直线平行的直线方程是
C. 若直线，则
D. 点到直线的距离是2
【答案】BD
【解析】A. 因为，且，则，故错误；
B. 因为与直线平行，且过，所以直线方程为 ，即，故正确；
C. 因为，且，故错误；
D. 点到直线的距离是，故正确；
故选：BD
10. 圆与圆相交于、两点，则（ ）
A. 的直线方程为
B. 公共弦的长为
C. 线段的垂直平分线方程为
D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为
【答案】AD
【解析】对于A选项，将两圆方程作差可得，
即，
所以，直线的方程为，A对；
对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，，B错；
对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
连接、、、，
因为，所以，直线过圆心，易知为的中点，
又因，所以，，所以，垂直平分线段，
，则直线的方程为，即，C错；
对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为，D对.
故选：AD.
11. 已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点P在椭圆C上且满足，直线与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为B. 面积的最大值为
C. D. 圆G在椭圆C的内部
【答案】BCD
【解析】，
,设 则
又，，
，即，所以A不正确；
当点在轴上时三角形面积的最大，
此时 , 所以B正确；
因为所以，故C正确；
圆， ，圆在椭圆内部，所以点在椭圆内部，所以D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线在轴上的截距为1，则__________.
【答案】
【解析】因为直线，令，得到，
由题有，解得，
故答案为：.
13. 已知双曲线的渐近线与圆相切，该双曲线的离心率为_______________________.
【答案】
【解析】由题可知双曲线其中一条渐近线方程，
因为其与圆相切，
故可得：，
解得，则离心率.
故答案为：.
14. 已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】设Px1,y1，Mx,y，
所以有，
因为点在圆上，
所以有，
显然，得，
故联立，得，
由题可知方程有解，
得，解得.
因为，所以的最大值为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知直线的方程为，直线经过点和.
（1）若，求的值；
（2）若当变化时，总过定点，求.
解：（1）直线经过点和,
所以，
所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，,
所以,解得或.
（2）直线的方程为可以改写为,
由，解得，
所以总过定点
根据两点间的距离公式,
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1，5)，B(﹣3，7)，C(﹣8，2)．
（1）求AC边上的高所在直线方程；
（2）求ABC的面积．
解：（1）由题意，，
因此AC边上高所在直线的斜率为：，
所以AC边上高所在直线方程为：y﹣7＝﹣3(x＋3)，即3x＋y＋2＝0；
（2） AC＝，
AC边所在直线方程为：y﹣5＝(x﹣1)，
即x﹣3y＋14＝0，
B到AC的距离，
所以ABC的面积.
17. 已知圆经过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线l与圆相交于两点，且，求直线l的方程．
解：（1）因为圆经过两点，，
所以线段的中点为，直线的斜率为
因此线段的垂直平分线所在直线方程为，
由圆的性质知圆心在直线上，又在圆心在直线上，
所以由，解得，
又圆经过点，所以，所以圆C的标准方程为.
（2）当过点直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则直线l与圆C的交点为，所以，满足条件;
当过点直线l的斜率存在时，设直线斜率为，
则直线l方程为，即，
圆心到直线l的距离为，又，
所以，即，因此直线l方程为，
综上所述直线l的方程为或.
18. 已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，
（i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积
（ii）若，求点的坐标.
解：（1）双曲线实轴长为，故，
双曲线的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）（i）在三角形中，Q到渐近线的距离，
根据双曲线的对称性，，
所以
（ii）设，则，设Q到直线距离为，
同理，所以①
又因为②，由①②解得或，
当时，得或，
又，则或，
解得或，同理有或，
所以点或或或.
19. 已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点.
（1）求的方程.
（2）过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.
（i）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ii）当的面积最大时，求直线的方程.
解：（1）由已知，得解得
故的方程为.
（2）①由题可设.
将，
消去，得.
当，即时，有.
所以，
即，
可得，
所以，即直线与的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点到直线的距离，
所以的面积.
设，则，
当且仅当，即时等号成立，且满足.
所以当的面积最大时，直线的方程为或.