江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. -2B. 1C. 3D. 4
【答案】B
【解析】经过两点的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为，所以，解得.
故选：B.
2. 对于任意的实数，直线恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线，
即，
令，解得，
即直线恒过定点，
故选：B.
3. 双曲线的焦点坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知双曲线的焦点为，则
双曲线方程为，则，
解得，
故选：A.
4. 已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【解析】圆：和圆：，
可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
因为，即，
所以两圆的位置关系为相交.
故选：C.
5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，
解得：，∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，故选：C.
6. 若双曲线经过点，且它两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，
所以，则双曲线的方程是.
故选：A
7. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由直线可知，则，
由圆可知圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
则，即，
所以面积.
故选：C.
8. 设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设椭圆右焦点为，连接，，
由，则为直角三角形，，
由已知直线的斜率为，
则，即，
又，则，，
在中由勾股定理得，
即，
整理可得离心率，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 若，则或
C. 若，则D. 若不经过第二象限，则
【答案】AD
【解析】对AD，直线：，
即，
所以在轴上的截距为，故A正确；
若不经过第二象限，则，解得，故D正确；
对B，当时，此时直线，
两条直线重合，故B错误；
对C，若，则，解得，故C错误；
故选：AD.
10. 已知圆：，点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在圆外
B. 圆上动点到点距离的最大值为
C. 过点作圆的切线，则切线方程为或
D. 过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为
【答案】AC
【解析】圆：的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆外，故A正确；
对于选项B：圆上动点到点距离的最大值为，故B错误；
对于选项C：若直线的斜率不存在，此时直线方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线斜率存在，设直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为；
综上所述：切线方程为或，故C正确；
对于选项D：直线与圆切与点2,1，记为点A，且直线的斜率，
因为，可知直线的斜率，
所以直线方程为，即，故D错误；
故选：AC.
11. 如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（ ）

A. ，
B. 若双曲线的方程是，则
C. 若，则
D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由椭圆：可知，即，
双曲线：可知，
且点在第一象限，则，解得，故A正确；
对于选项B：若双曲线的方程是，则，
可得，，则，即，
所以，故B正确；
对于选项C：若，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，故C错误；
对于选项D：在中，由余弦定理可得，
结合椭圆定义可得，
即，整理可得，
结合双曲线的定义可得，
即，整理可得，
则，且为锐角，可得，
所以的面积为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】若方程表示圆，
则，即，
可得，
所以实数取值范围为.故答案为：.
13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______.
【答案】
【解析】由已知两直线平行，则，
解得，
则，即，
所以距离，
故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由椭圆可知椭圆的实轴长，F1-1,0，F21,0，
圆的圆心，半径，
由已知圆上任意一点到得距离，
所以，
又根据椭圆定义，
则，
当且仅当，都在线段上时，等号成立，
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在中，，，.
（1）求中，边上的中线所在直线的方程；
（2）求中，边上的高所在直线的方程.
解：（1）由题意可知：线段的中点为，
则边上的中线所在直线的方程为，即.
（2）由题意可知：直线的斜率，
则边上的高所在直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即.
16. 已知圆的圆心在直线上，且过，两点.
（1）求圆标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
解：（1）由，，则中点为，，
易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率，
则中垂线方程为，即，
联立，解得，
即圆心，
半径，
所以圆的方程为；
（2）当直线斜率存在时，设直线，即，
圆心到直线的距离，
则弦长为，
解得，即直线；
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离，弦长为成立；
综上所述，直线的方程为或.
17. 已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
解：（1）因为焦距为，即，可得，
又因为点在椭圆：上，即，
联立方程，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知：直线，即，
联立方程，解得或，
不妨设，
则，
且点到直线的距离，
所以的面积.
18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点.
①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值；
②满足，求直线方程.
解：（1）由已知，，动点满足，
则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义，
即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
即轨迹方程为；
（2）①设点Mx1,y1，Nx2,y2，中点，
则，，又点，在曲线上，
则，作差可得，
即，
则；
②设直线，
联立直线与双曲线，得，
恒成立，且，，
又，，，则，
则，，
所以，解得，，
即直线方程为，
即或.
19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为A0,3，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值；
（3）求证：直线过定点.
解：（1）因为椭圆的上顶点为，离心率为
则 ，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）圆的圆心为，半径为，
设切线方程为，则 ，即
因为两切线的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值.
（3）联立方程 ，消掉得，
设，则，
同理可得 ，
则，
可得直线方程为，
令，得，
所以故直线过定点.