四川省眉山市东坡区2024-2025学年高二上学期11月期中校校联合考试数学试题

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1．C
【分析】根据现象的分类逐项分析判断.
【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误；
对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误；
对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确；
对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误；
故选：C.
2．A
【分析】利用概率的意义直接求解．
【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为，
对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确；
对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为，
不一定有一位病人被治愈，故B错误；
对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；
对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误．
故选：A.
3．C
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
4．B
【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【详解】解：，，
.
故选：B.
5．B
【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
6．A
【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.
【详解】由题得最多人被感染的概率为.
故选：A
【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.
7．C
【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:

,
故选：C.
8．B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.
【详解】由题知，在正四面体中，
因为平面，
所以是的中心，
连接，则，
所以
.

故选：B
9．BCD
【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意；
B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意；
C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意；
D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意；
故选：BCD.
10．BC
【分析】
由侧面展开图，可知当为中点时，路程有最小值可判断AC，根据向量的数量积运算律及性质可知为直径时由最大值，可判断BD.
【详解】圆锥的侧面展开图如图所示，
的长为，，
为等边三角形，
取的中点，连接，则，
此时的长即蚂蚁爬行的最短路程，且最短路程为米，A错误，C正确；
当蚂蚁爬行的路程最短时，为的中点，
设中点为，如图，
则，
，，
则当为直径时，取得最大值，且最大值为，B正确，D错误．
故选：BC．
11．BC
【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D.
【详解】对于A，在上的投影向量为
，故A错误；
对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点，
则点是的中点，所以
，故B正确；

对于C，若，则，
所以四点共面，故C正确；
对于D，设在基底下的坐标为，
则，
因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得，
则在基底下的坐标为，故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求.
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又平面与平面夹角为，即，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是.
故答案为：.
13．/
【分析】记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解.
【详解】解：记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，
且，
因为他恰好能答对两道题的概率为，
可得
，整理得，
所以他三道题都答错的概率为.
故答案为：.
14．
【分析】由已知条件可知连胜两局的概率为，即可求解p，若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可.
【详解】解：令事件为一方在第i局获胜，，
则连胜两局的概率，解得，
若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，
其中一方在第1、2、4场获胜的概率，
其中一方在第1、3、4场获胜的概率，
其中一方在第2、3、4场获胜的概率，
所以打完4场结束比赛的概率，
故答案为：.
15．(1)
(2)
(3)平面ABC平面
【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；
（2）根据空间向量的数量积结合夹角公式运算求解；
（3）根据题意结合空间向量可得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.
【详解】（1）由题意可知：点O是的中点，则，
所以
．
（2）设，
则，
．
所以．
又因为，所以，．
所以．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
（3）取的中点，连接，
则．
因为，为的中点，则．
又，即．
且，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
16．(1)，，
(2)，
【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；
（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.
【详解】（1）由已知，
则，，；
（2），
.
17．(1)
(2)50
(3)
【分析】（1）先根据概率和为1确定样本中数据落在的频率，再利用公式即可求解.
（2）根据公式求样本数据的平均数即可.
（3）先分层抽样，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）依题意，样本中数据落在的频率为：
样本数据的第百分位数落在第四组，
且第百分位数为
（2）平均数为.
（3）与两组的频率之比为.
现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为
所有可能的情况为共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有共9种.
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，
则
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解；
（2）由已知可得，，可得结论；
（3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论.
【详解】（1）若，则，，
所以，
两边平方可得，
所以；
（2）若，则，所以，
①，
②，
由①②可得；
（3），
，
设，又，
又，所以①，
由，可得，所以，所以，
所以，
由，可得，
所以，
又三点共线，所以②，
联立①②解，
所以，所以，
，
，
所以
，
又，
所以，同理可得，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
B
A
C
B
BCD
BC
题号
11









答案
BC