山东省济南第一中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

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注意事项：
1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.【详解】由题意直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：A.
2. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】D
【解析】【分析】根据两个平面垂直，两个平面的法向量也垂直，求解即可.
【详解】因为，所以，所以，解得.故选：D
3.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据长轴以及离心率即可求解.【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即，解得，故，所以椭圆方程为，选：A
4.点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.【详解】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，
∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.
5.已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】【分析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，所以， ，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B
6.若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据双曲线离心率求得，再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出，求解.【详解】，所以，得渐近线为，
因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得．故选：C
7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴点A到直线BC的距离为：d＝＝1×＝．
8.已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可.【详解】曲线可化为，
当时，，则，故此时曲线为椭圆的上半部分；
当时，，则，故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为；直线，表示一组斜率为的平行直线，如图，当直线过点时，，解得；当直线与椭圆上半部分相切时，由，消化简得，由，解得，又直线与椭圆上半部分相切，则，故，要使直线与曲线恰有三个不同交点，结合图形可得，实数的取值范围为.故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距为2
B．直线必过定点（3，2）
C．若过点的直线的截距相等，则该直线方程为或
D．若两直线平行，则或
【答案】BC
【解】 对A, 在轴上的截距为.故A错误.
对B,化简得直线,故定点为.故B正确.
截距不为零时，是，过原点时，是，故C正确
两直线平行，故，得或，但时两直线重合，所以只有，故D错误
故选：BC.
10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦点坐标为，
B．的长轴长为
C．直线的方程为
D．
【答案】CD
【解】由，得椭圆焦点在轴上，且，则，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB错误，
设，则，，两式作差得，因为为线段的中点，所以，，所以，所以直线的方程为，即，所以C正确，
由和，得，则，所以，所以D正确，
故选：CD
11. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若为的中点，则直线平面
C. 异面直线与所成角的正弦值的范围是
D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为
【答案】ACD
【解】对于A选项，在正四棱柱中，，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，为定值，A对；
对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、，
因为为的中点，则，则，，
所以，，所以，与不垂直，
故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错；
对于C选项，，设，
则，
，
所以，，
因为，则，所以，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的正弦值的范围是，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，此时，，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
【答案】
【解析】利用均值不等式
13. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
【答案】
【解析】以为基底表示出，再利用空间向量的模和数量积运算即可求解.
【详解】设，，，则，，.所以.
故.即的长为.
14.已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为______．
【答案】或写为
【解析】【分析】先利用条件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式计算得到，进而根据求出离心率.【详解】设双曲线右焦点为，则，则，所以，又，所以，整理得，
所以.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本题满分13分）求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．
（1）与直线x﹣4y+4＝0平行；
（2）到原点的距离等于1．
【答案】（1） （2）或
【详解】（1）由于直线l2：x﹣y+5＝0与直线x﹣4y+4＝0不垂直故设所求直线为，故，因为此直线与直线x﹣4y+4＝0垂直，故，故，故所求直线为.
（2）由于原点到直线l2：x﹣y+5＝0的距离故设所求直线为，
故， 解得或故直线方程为：或
16. (本题满分15分）在平面内，，，C为动点，若，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.
【答案】（1） （2）
【小问1详解】设，，，，
得.
【小问2详解】，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，.故最短弦长为.
17.(本题满分15分）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

（1）证明：平面：
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接，可证为的中点且，可得，又，由线面垂直的判定可证；
（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.
【小问1详解】
连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以都为正三角形，
所以，四边形是菱形，
记与的交点为，为和的中点，
因为，
所以三角形为正三角形，
所以，所以，
因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，
因为，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为点在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知为的中点，为正三角形，所以，
所以底面，
因为四边形是菱形，所以，
即两两互相垂直，
以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
取，则，
设直线与平面的所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.(本题满分17分）已知椭：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段的垂直平分线的方程；
（3）求三角形的面积.（为坐标原点）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由条件得到，求椭圆方程；
（2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程；
（3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积.
【详解】（1）由题意可知，， ，，
椭圆的方程是；
（2）椭圆的左焦点 ,直线的方程是 ，
与椭圆方程联立，得，
，，
代入直线的方程得，线段的中点是，
并且线段的垂直平分线的斜率是-1，
线段的垂直平分线的方程是，即；
（3）由（2）可知， ，
，
原点到直线的距离，.
19. (本题满分17分）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）过定点
【解析】
【分析】（1）由双曲线几何性质求方程；
（2）分斜率存在于不存在分别研究，直线方程与双曲线方程联立，设，则直线的方程为，与双曲线求交点得，同理，从而求出直线的方程，可证.
【小问1详解】
由题意可知：解得双曲线的方程为
【小问2详解】当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为
由，整理得，与左支交于两点
，解得，设，则直线的方程为
代入整理得
设，则 ，，
，同理,直线的斜率
直线的方程为，即,直线过定点
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨设点在轴上方，则，直线的方程为
由，解得,同理,此时直线过点