陕西省西安市周至县2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份陕西省西安市周至县2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．不能确定
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝3C．x＝﹣3D．x＝﹣4
4．（3分）如图，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（ ）
A．点A与点D是对应点B．∠ACB＝∠DEF
C．BO＝EOD．AB∥DE
5．（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x﹣2）2+3D．y＝5（x﹣2）2﹣3
6．（3分）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，连接AC、BC、AD、OD，AB平分∠CAD，∠B＝72°，则∠BOD的度数为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值为 ．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD等于 °．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝2，可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为 ．
13．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，AB是⊙O的弦，AB＝24，D为AB中点，C是圆上的动点（不与A、B重合），连接CD，则CD的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x2+3＝2（x+2）．
15．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，连接OC、BD、CD，若OC∥BD，∠ABD＝70°，求∠BDC的度数．
16．（5分）已知A＝2m2+m﹣4，B＝m2﹣3m﹣8，当m为何值时，A＝B．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，求BE的长．
18．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+（a+2）x+1的最大值为5，求a的值．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1）
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2，并写出点B2的坐标．（点B、C的对应点分别为B2、C2）
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2m﹣4＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有一根为﹣4，求m的值．
21．（6分）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．求拱门最高点D到AB的距离CD．
22．（7分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+2x﹣m．
（1）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此时二次函数的解析式及其顶点坐标；
（2）若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值．
23．（7分）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直径．
25．（8分）如图①，是某学校体育场的遮阳棚截面图，该校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与地面AB相互垂直，且OC＝5，AB＝10，建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架DEFG（如图②所示），点G、F均在抛物线上，点D、E在AB上，且DE：EF＝4：3，求EF的长．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接AC、CD、BD，求四边形ACDB的面积；
（3）如图2，连接BC，若P是位于线段BC所在直线下方抛物线上的一个动点，求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标．
2024-2025学年陕西省西安市周至县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，
故选：A．
2．【解答】解：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．【解答】解：由题意，抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴为：直线，
故选：B．
4．【解答】解：观察图形可知：
A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意；
B、∠ACB＝∠DFE，原说法错误，故选项符合题意；
C、BO＝EO，原说法正确，故选项不符合题意；
D、∠ABO＝∠DEO，则AB∥DE，原说法正确，故选项不符合题意．
故选：B．
5．【解答】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为y＝5x2，
∴y＝5x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线，
∴原抛物线的函数解析式为y＝5（x﹣2）2+3．
故选：C．
6．【解答】解：设该群共有x人，
依题意有x（x﹣1）＝90，
解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10，
答：这个群共有10人．
故选：B．
7．【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝72°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝18°，
∵AB平分∠CAD，
∴∠BAD＝∠BAC＝18°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝36°．
故选：B．
8．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），
∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp，
∴＝m，即p+1＝m，
∴p＝m﹣1，
∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，
∵﹣1≤m≤2，
∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3．
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（5，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）．
10．【解答】解：一元二次方程x2﹣25＝0中，
∵方程的两个根分别为x1，x2，a＝1，b＝0，
∴，
故答案为：0．
11．【解答】解：因为△ADE由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到，
所以∠CAE＝90°．
又因为∠EAD＝50°，
所以∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40．
12．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，
∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个根为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
13．【解答】解：连接OD，延长OD交⊙O于点C，连接OA，则OA＝OC＝13．
∵D为AB中点，
∴OC⊥AB，
∴此时CD最短，
∵AB＝24，
∴AD＝AB＝×24＝12，
在Rt△ADO中利用勾股定理，得OD＝＝＝5，
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．【解答】解：x2+3＝2（x+2），
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
15．【解答】解：∵OC∥BD，∠ABD＝70°，
∴∠ABD＝∠BOC＝70°，
∴∠BDC＝∠BOC＝35°．
16．【解答】解：由题意知2m2+m﹣4＝m2﹣3m﹣8，
整理得m2+4m+4＝0，
∴（m+2）2＝0，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣2．
17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE＝AC＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1．
18．【解答】解：因为二次函数解析式为y＝﹣x2+（a+2）x+1，
所以抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为＝．
又因为二次函数的最大值为5，
所以，
解得a＝2或﹣6，
所以a的值为2或﹣6．
19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
由图可得，点B2的坐标为（3，﹣3）．
20．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣2m﹣4）＝m2+8m+16＝（m+4）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程的一个根为﹣4，
∴16﹣4m﹣2m﹣4＝0，
解得 m＝2．
21．【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OD＝1.5m．
∵C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，
∴CD⊥AB，
∵AB＝1.8m，
∴AC＝AB＝×1.8＝0.9（m），
在Rt△ACO中利用勾股定理，得OC＝＝＝1.2（m），
∴CD＝OC+OD＝1.2+1.5＝2.7（m）．
答：拱门最高点D到AB的距离CD是2.7m．
22．【解答】解：（1）由题意可得：Δ＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1，
∴此时二次函数的解析式为 y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴顶点坐标为 （﹣1，0）．
（2）由y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣m﹣1可得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣m﹣1）
∵该抛物线的顶点到x轴的距离为2，
∴﹣m﹣1＝2 或﹣m﹣1＝﹣2，
∴m＝﹣3或1．
23．【解答】解：（1）根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280﹣x﹣220＝（60﹣x）元，
故答案为：3x，（60﹣x）；
（2）根据题意得：（30+3x）（60﹣x）＝3600，
解得x1＝20，x2＝30，
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
24．【解答】（1）证明：如图，连接AC．
∵，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴CB＝CD．
∵CE＝CD，
∴CB＝CE，∠E＝∠CDE，
∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠E，
在△ABC和△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：连接BD．
∵∠BAD＝90°，
∴．BD是⊙O的直径．
由（1）可得 AB＝AE．
∵AD＝DE＝2，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△ABD中，，
∴⊙O的直径为2．
25．【解答】解：（1）由题意，∵OC＝5，AB＝10，
∴C（0，5），A（﹣5，0），B（5，0）．
∴可设抛物线的函数解析式为 y＝ax2+5，
又B（5，0）在抛物线上，
∴25a+5＝0．
∴．
∴抛物线的函数解析式为．
（2）由题意，∵四边形DEFG是矩形，
∴∠OEF＝90°，即 EF⊥AB．
∵DE：EF＝4：3，
故可设DE＝4t，EF＝3t，
∴F（2t，3t）．
又F在抛物线上，
∴．
∴负值舍去）．
∴，即EF的长为．
26．【解答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入上式，得：a﹣4＝﹣3，
解得：a＝1，
∴抛物线的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接OD．
∵二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），
∴令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，
∴点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴；
（3）过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
由点B（3，0）和 C（0，﹣3），则直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴点O的坐标为（m．m﹣3），
∴FQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴，
由题意知0＜m＜3，
∴当时，△BCP的面积最大，最大值为，
当时，，
∴点P的坐标为．