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第29讲 由正难则反切入-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
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这是一份第29讲 由正难则反切入-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答，共6页。试卷主要包含了常量与变量的换位；，反客为主；，反证法等，由小到大排列各分数，证明等内容，欢迎下载使用。
数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性．由正难则反切入的具体途径有：
定义、公式、法则的逆用；
2．常量与变量的换位；
3．反客为主；
4．反证法等．
【例题求解】
【例1】 已知满足，那么的值为 ．
思路点拨 视为整体，避免解高次方程求的值．
【例2】 已知实数、、满足，且求的值．
思路点拨 显然求、、的值或寻求、、的关系是困难的，令，则2002=，原等式就可变形为关于的一元二次方程，运用根与系数关系求解．
注：（1）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示．
（2）人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面．求同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径．
正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式：
(1)不通分母通分子；
(2)不求局部求整体；
(3)不先开方先平方；
(4)不用直接挖隐含；
(5)不算相等算不等；
(6)不求动态求静态等．
【例3】 设、、为非零实数，且，，，试问：、、满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
思路点拨 如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的、、的取值即可．
注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解．
【例4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论．
思路点拨 结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的．
【例5】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
思路点拨 先假设存在正整数，，，满足 (，=1，2，3，4，m为正整数)．运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立．
注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论．
宜用反证法的三题特征是：
(1)结论涉及无限；
(2)结论涉及唯一性；
(3)结论为否定形式；
(4)结论涉及“至多，至少”；
(5)结论以疑问形式出现等．
学力训练
1．由小到大排列各分数：，，，，，是 ．
2．分解因式= ．
3．解关于的方程：(≥)得= ．
4．的结果是 ．
5．若关于的三个方程，， ，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ．
6．有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动4次后，甲、乙两堆小球恰好都是16个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球?
7．求这样的正整数，使得方程至少有一个整数解．
8．某班参加运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请说明理由．
9．如正整数和之和是，则可变为，问能不能用这种方法数次，将22变成2001？
10．证明：如果整系数二次方程a ()有有理根，那么，，中至少有一个是偶数．
11．在ΔABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将该ΔABC分成等面积的两部分?为什么?
12．求证：形如4n+3的整数是(n为整数)不能化为两个整数的平方和．
13．13位小运动员，他们着装的运动服号码分别是1～13号．问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3，且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．
14．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．
参考答案
数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性．由正难则反切入的具体途径有：
定义、公式、法则的逆用；
2．常量与变量的换位；
3．反客为主；
4．反证法等．
【例题求解】
【例1】 已知满足，那么的值为 ．
思路点拨 视为整体，避免解高次方程求的值．
【例2】 已知实数、、满足，且求的值．
思路点拨 显然求、、的值或寻求、、的关系是困难的，令，则2002=，原等式就可变形为关于的一元二次方程，运用根与系数关系求解．
注：（1）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示．
（2）人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面．求同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径．
正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式：
(1)不通分母通分子；
(2)不求局部求整体；
(3)不先开方先平方；
(4)不用直接挖隐含；
(5)不算相等算不等；
(6)不求动态求静态等．
【例3】 设、、为非零实数，且，，，试问：、、满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
思路点拨 如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的、、的取值即可．
注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解．
【例4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论．
思路点拨 结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的．
【例5】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
思路点拨 先假设存在正整数，，，满足 (，=1，2，3，4，m为正整数)．运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立．
注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论．
宜用反证法的三题特征是：
(1)结论涉及无限；
(2)结论涉及唯一性；
(3)结论为否定形式；
(4)结论涉及“至多，至少”；
(5)结论以疑问形式出现等．
学力训练
1．由小到大排列各分数：，，，，，是 ．
2．分解因式= ．
3．解关于的方程：(≥)得= ．
4．的结果是 ．
5．若关于的三个方程，， ，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ．
6．有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动4次后，甲、乙两堆小球恰好都是16个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球?
7．求这样的正整数，使得方程至少有一个整数解．
8．某班参加运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请说明理由．
9．如正整数和之和是，则可变为，问能不能用这种方法数次，将22变成2001？
10．证明：如果整系数二次方程a ()有有理根，那么，，中至少有一个是偶数．
11．在ΔABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将该ΔABC分成等面积的两部分?为什么?
12．求证：形如4n+3的整数是(n为整数)不能化为两个整数的平方和．
13．13位小运动员，他们着装的运动服号码分别是1～13号．问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3，且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．
14．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．
参考答案
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