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第2讲 判别式——二次方程根的检测器-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
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这是一份第2讲 判别式——二次方程根的检测器-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答，共6页。
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【例题求解】
【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 。 (广西中考题)
思路点拨：利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约。
注：运用判别式解题，需要注意的是：
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。
【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）
A、 B、或 C、 D、
思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择。
【例3】 已知关于的方程，
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 (湖北省荆门市中考题)
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值。
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。
【例4】 设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。 (重庆市竞赛题)
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。
【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝，问：这样的点E是否存在?若存在，
这样的点E有几个?请说明理由。 (云南省中考题)
思路点拨：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。
注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：
(1)利用根的定义构造；
(2)利用根与系数关系构造；
(3)确定主元构造。
学力训练
1、已知，若方程有两个相等的实数根，则= 。
2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
(辽宁省中考题)
3、已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= 。
4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考题)
5、已知一直角三角形的三边为、、，∠B＝90°，那么关于的方程的根的情况为( )
A、有两个相等的实数根 B、没有实数根
C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)
6、如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( )
A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)
7、在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为、、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求△ABC的周长。(济南市中考题)
8、已知关于的方程
(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为、，满足=3，求实数的值。(盐城市中考题)
9、、为实数，关于的方程有三个不等的实数根。
(1)求证：；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值。 (江苏省苏州市中考题)
10、关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 。(2002年四川省竞赛题)
11、当= ，= 时，方程有实数根。 (全国初中数学联赛试题)
12、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是 。
13、如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定
14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)
15、已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程，则方程根的情况是( )
A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)
16、若a、b、c、d>0，证明：在方程①；②；③；④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题)
17、已知三个实数a、b、c满足，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于。
18、关于的方程有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题)
19、考虑方程①
(1)若=24，求一个实数，使得恰有3个不同的实数满足①式。
(2)若≥25，是否存在实数，使得恰有3个不同的实数满足①式?说明你的结论。 (国家理科实验班招生试题)
20、如图，已知边长为的正方形ABCD内接于边长为的正方形EFGH，试求的取值范围。
参考答案
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【例题求解】
【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 。 (广西中考题)
思路点拨：利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约。
注：运用判别式解题，需要注意的是：
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。
【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）
A、 B、或 C、 D、
思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择。
【例3】 已知关于的方程，
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 (湖北省荆门市中考题)
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值。
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。
【例4】 设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。 (重庆市竞赛题)
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。
【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝，问：这样的点E是否存在?若存在，
这样的点E有几个?请说明理由。 (云南省中考题)
思路点拨：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。
注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：
(1)利用根的定义构造；
(2)利用根与系数关系构造；
(3)确定主元构造。
学力训练
1、已知，若方程有两个相等的实数根，则= 。
2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
(辽宁省中考题)
3、已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= 。
4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考题)
5、已知一直角三角形的三边为、、，∠B＝90°，那么关于的方程的根的情况为( )
A、有两个相等的实数根 B、没有实数根
C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)
6、如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( )
A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)
7、在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为、、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求△ABC的周长。(济南市中考题)
8、已知关于的方程
(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为、，满足=3，求实数的值。(盐城市中考题)
9、、为实数，关于的方程有三个不等的实数根。
(1)求证：；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值。 (江苏省苏州市中考题)
10、关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 。(2002年四川省竞赛题)
11、当= ，= 时，方程有实数根。 (全国初中数学联赛试题)
12、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是 。
13、如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定
14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)
15、已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程，则方程根的情况是( )
A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)
16、若a、b、c、d>0，证明：在方程①；②；③；④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题)
17、已知三个实数a、b、c满足，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于。
18、关于的方程有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题)
19、考虑方程①
(1)若=24，求一个实数，使得恰有3个不同的实数满足①式。
(2)若≥25，是否存在实数，使得恰有3个不同的实数满足①式?说明你的结论。 (国家理科实验班招生试题)
20、如图，已知边长为的正方形ABCD内接于边长为的正方形EFGH，试求的取值范围。
参考答案
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