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第3讲 充满活力的韦达定理-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
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这是一份第3讲 充满活力的韦达定理-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答，共7页。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值；
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】
【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 。
思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例
【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为( )
A、 B、或2 C、 D、或2
思路点拨：可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于的方程：
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、。
思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根。
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。
注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
学力训练
1、(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是 。
(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是 。
2、已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 。
3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是 。
4、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于
的方程的两根，那么AB边上的中线长是( )
A． B． C．5 D．2
6、方程恰有两个正整数根、，则的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7、若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式：，判断是否正确?
8、已知关于的方程。
当是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值。
9、已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 。
10、已知、是方程的两个根，则的值为 。
11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 。
12、两个质数、恰好是整系数方程的两个根，则的值是( )
A．9413 B． C． D．
13、设方程有一个正根，一个负根，则以、为根的一元二次方程为( )
A． B．
C． D．
14、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1
15、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程的两个根。
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．
16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。
若，求m的值。 （2）求的最大值。
17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。
18、设、、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值。
参考答案
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值；
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】
【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 。
思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例
【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为( )
A、 B、或2 C、 D、或2
思路点拨：可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于的方程：
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、。
思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根。
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB
注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
学力训练
1、(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是 。
(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是 。
2、已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 。
3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是 。
4、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于
的方程的两根，那么AB边上的中线长是( )
A． B． C．5 D．2
6、方程恰有两个正整数根、，则的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7、若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式：，判断是否正确?
8、已知关于的方程。
当是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值。
9、已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 。
10、已知、是方程的两个根，则的值为 。
11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 。
12、两个质数、恰好是整系数方程的两个根，则的值是( )
A．9413 B． C． D．
13、设方程有一个正根，一个负根，则以、为根的一元二次方程为( )
A． B．
C． D．
14、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1
15、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程的两个根。
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．
16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。
若，求m的值。 （2）求的最大值。
17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。
18、设、、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值。
参考答案
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