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第5讲 一元二次方程的整数整数解-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
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这是一份第5讲 一元二次方程的整数整数解-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答,共5页。
从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解;
从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=),通过穷举,逼近求解;
从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解;
从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解.
注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.
【例题求解】
【例1】若关于的方程的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个.
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确.
注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件,看是否要分类讨论.
【例2】 已知、为质数且是方程的根,那么的值是( )
A. B. C. D.
思路点拨 由韦达定理、的关系式,结合整数性质求出、、的值.
【例3】 试确定一切有理数,使得关于的方程有根且只有整数根.
思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论.当时,由根与系数关系得到关于r的两个等式,消去r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根.
当为整数时,关于的方程是否有有理根?如果有,求出的值;如果没有,请说明理由.
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数.
设△=(为整数)解不定方程,讨论的存在性.
注:一元二次方程 (a≠0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.
【例5】 若关于的方程至少有一个整数根,求非负整数的值.
思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难,又因的次数低于的次数,故可将原方程变形为关于的一次方程.
学力训练
1.已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有 .
2.已知方程有两个质数解,则m= .
3.给出四个命题:①整系数方程(a≠0)中,若△为一个完全平方数,则方程必有有理根;②整系数方程(a≠0)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数;③无理数系数方程(a≠0)的根只能是无理数;④若、、均为奇数,则方程没有有理数根,其中真命题是 .
4.已知关于的一元二次方程 (为整数)的两个实数根是、,则= .
5.设rn为整数,且40.
(1)求证:
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