备战2025年高考二轮复习数学专题突破练23 圆锥曲线中的最值、范围问题（提升篇）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练23 圆锥曲线中的最值、范围问题（提升篇）（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知双曲线C1等内容，欢迎下载使用。

主干知识达标练
1.(17分)(2024安徽黄山一模)如图,设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆E:x2a2+y2=1的左、右焦点,P为椭圆E上任意一点,且PF1·PF2的最小值为-2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求椭圆E的外切矩形ABCD的面积S的最大值.
解(1)设点P(x,y),则y2=1-x2a2,其中a2>1,则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),所以PF1·PF2=(-c-x)(c-x)+y2=x2-c2+y2=x2-(a2-1)+1-x2a2=a2-1a2x2-a2+2,故当x=0时,PF1·PF2取最小值,所以2-a2=-2,可得a2=4,因此,椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)设点A(x0,y0),当直线AB,AD的斜率都存在时,设直线AB,AD的斜率分别为k1,k2,设过点A且斜率存在的直线的方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0),联立y=kx+(y0-kx0),x2+4y2=4,消去y可得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0,则Δ=64k2(y0-kx0)2-16(4k2+1)[(y0-kx0)2-1]=0,整理可得(y0-kx0)2-4k2-1=0,即(x02-4)k2-2x0y0k+y02-1=0,则k1,k2是关于k的方程(x02-4)k2-2x0y0k+y02-1=0的两根,
因为AB⊥AD,则k1k2=y02-1x02-4=-1,整理可得x02+y02=5(x02≠4);
当AB,AD分别与两坐标轴垂直时,则A(±2,±1),满足x02+y02=5.
所以点A的轨迹方程为x2+y2=5,
由对称性可知,矩形ABCD的四个顶点都在圆x2+y2=5上,该圆的半径为5,
由勾股定理可得|AB|2+|AD|2=(25)2=20,由基本不等式可得20=|AB|2+|AD|2≥2|AB|·|AD|,即|AB|·|AD|≤10,
当且仅当|AB|=|AD|,|AB|2+|AD|2=20时,即当|AB|=|AD|=10时,等号成立,故S=|AB|·|AD|≤10,即矩形ABCD的面积的最大值为10.
2.(17分)(2024湖南长沙一模)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,其准线l与x轴交于点P,过点P的直线与C交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)若点A是线段PB的中点,求点A的坐标;
(2)若直线AF与C交于点D,记△BDP内切圆的半径为r,求r的取值范围.
解(1)由题意知P-12,0,设点A(x0,y0),因为点A是线段PB的中点,所以B2x0+12,2y0,
又点A,B都在抛物线C上,所以y02=2x0,4y02=2(2x0+12),解得x0=14,y0=±22,所以点A的坐标为14,22或14,-22.
(2)如图,由题意可知直线AB的斜率存在且不为0,F12,0,设直线AB的方程为y=kx+12,k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),由点A在点B的左侧,则0设D(x3,y3),直线BD与x轴交于点E,
联立y=k(x+12),y2=2x得k2x2+(k2-2)x+k24=0,易知Δ=(k2-2)2-k4=4-4k2>0,解得-1因为直线AF的斜率存在,所以x3=14x1=x2,所以BD⊥x轴.
所以S△BDP=12x2+12·2|y2|,△BDP的周长为2(x2+12) 2+y22+2|y2|,所以122(x2+12) 2+y22+2|y2|r=12x2+12|2y2|,所以r=(x2+12)|y2||y2|+(x2+12) 2+y22=11x2+12+1y22+1(x2+12) 2=112x2+1(x2+12) 2+1x2+12.
令t=x2+12,t>1,则r=112t-1+1t2+1t,因为函数y=1x2=x-2,y=12x-1,y=1x在(1,+∞)上均单调递减,则函数y=12x-1+1x2+1x在(1,+∞)上单调递减,
所以关于t的函数r=112t-1+1t2+1t在(1,+∞)上单调递增,所以r>12+1=2-1,
所以r的取值范围为(2-1,+∞).
关键能力提升练
3.(17分)(2024湖北省八市一模)已知双曲线C1:x2-y2b2=1经过椭圆C2:x2a2+y2=1的左、右焦点F1,F2,设C1,C2的离心率分别为e1,e2,且e1e2=62.
(1)求C1,C2的方程;
(2)设P为C1上一点,且在第一象限内,若直线PF1与C2交于A,B两点,直线PF2与C2交于C,D两点,设AB,CD的中点分别为M,N,记直线MN的斜率为k,当k取最小值时,求点P的坐标.
解(1)依题意可得a2-1=1,得a2=2,由e1e2=62,得e12e22=1+b21·a2-1a2=32,解得b2=2,故C1的方程为x2-y22=1,C2的方程为x22+y2=1.
(2)如图,易知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则k1=y0x0+1,k2=y0x0-1,k1k2=y02x02-1,因为点P在C1:x2-y22=1上,即有x02-y022=1,可得k1k2=y02x02-1=2为定值.
设直线PF1的方程为y=k1(x+1),与椭圆方程x22+y2=1联立,消去y可得(2k12+1)x2+4k12x+2(k12-1)=0,且Δ>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-4k122k12+1,可得M-2k122k12+1,k12k12+1,直线PF2的方程为y=k2(x-1),C(x3,y3),D(x4,y4),
同理可得N2k222k22+1,-k22k22+1,则k=-k12k12+1+k22k22+12k122k12+1+2k222k22+1=-k1(2k22+1)+k2(2k12+1)2k12(2k22+1)+2k22(2k12+1)
=-(2k1k2+1)(k1+k2)8k12k22+2(k12+k22)
=-(2k1k2+1)(k1+k2)8k12k22+2[(k1+k2)2-2k1k2],
由k1k2=2可得k=-5(k1+k2)24+2(k1+k2)2,
又点P在第一象限内,故k2>k1>0,k=-524k1+k2+2(k1+k2)≥-5224k1+k2×2(k1+k2)=-5324,当且仅当24k1+k2=2(k1+k2),即k1+k2=23时等号成立,而k1+k2>2k1k2=22,故等号可以取到.
即当k取最小值时,k1+k2=23,与k1k2=2联立,可解得k1=3-1,k2=3+1,故PF1的方程为y=(3-1)(x+1),PF2的方程为y=(3+1)(x-1),
联立可解得x=3,y=2,即有P(3,2).
核心素养创新练
4.(17分)(2024江苏南通二模)已知双曲线E的渐近线为y=±33x,左顶点为A(-3,0).
(1)求双曲线E的方程;
(2)直线l:x=t交x轴于点D,过点D的直线交双曲线E于B,C,直线AB,AC分别交l于G,H,若O,A,G,H均在圆P上,
①求点D的横坐标;
②求圆P面积的取值范围.
解(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称,又顶点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),从而渐近线方程为y=±bax,所以ba=33.
因为双曲线的左顶点为A(-3,0),所以a=3,b=1,所以双曲线E的方程为x23-y2=1.
(2)如图,①由题知,直线BC斜率存在,设D(t,0),B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC的方程为my=x-t,将x=my+t代入双曲线方程,消去x整理得(m2-3)y2+2mty+t2-3=0,易知该方程有两解,所以m2-3≠0且Δ=12(t2+m2-3)>0,则y1+y2=-2mtm2-3,y1y2=t2-3m2-3.
设直线AG的倾斜角为α,不妨设0<α<π2,则∠AGH=π2-α,由O,A,G,H四点共圆知∠HOD=∠AGH,所以直线OH的倾斜角为π2-α,kAG·kOH=tan α·tanπ2-α=sinαcsα×sin(π2-α)cs(π2-α)=1.
又A(-3,0),直线AC的方程为y=y2x2+3(x+3),令x=t,则y=y2(t+3)x2+3,从而Ht,y2(t+3)x2+3,所以kOH=y2(t+3)t(x2+3),
又kAG=kAB=y1x1+3,
所以kAG·kOH=y1x1+3×y2(t+3)t(x2+3)=1⇒(t+3)y1y2=t(x1+3)(x2+3),
将x1=my1+t,x2=my2+t代入上式,得(t+3)y1y2=t(my1+t+3)(my2+t+3),所以(t+3)y1y2=t[m2y1y2+m(t+3)(y1+y2)+(t+3)2],
所以(t+3)·t2-3m2-3=tm2·t2-3m2-3+m(t+3)·-2mtm2-3+(t+3)2,化简得4t2+33t-3=0,解得t=-3(不符合题意,舍去)或t=34.
故点D的坐标为34,0.
②直线AG的方程为y=tan α·(x+3),由①知t=34,所以G34,534tan α.
直线OH的方程为y=1tanαx,所以H34,34tanα,若G,H在x轴上方时,G在H的上方,即tan α>0时,534tan α>34tanα;
若G,H在x轴下方时,即tan α<0时,534tan α<34tanα,所以tan α>55或tan α<-55.
又直线AG与双曲线的渐近线不平行,所以tan α≠±33.
所以0<α<π,tan α>55或tan α<55且tan α≠±33.
因为OG=(34) 2+(53tanα4) 2=143(1+25tan2α),设圆P的半径为R,面积为S,则2R=OGsinα=3(1+25tan2α)4sinα,所以R2=364×(1+25tan2α)sin2α=364×(1+25tan2α)(sin2α+cs2α)sin2α=364×(1+25tan2α)(1+tan2α)tan2α=36425tan2α+1tan2α+26≥364225tan2α·1tan2α+26=2716,当且仅当25tan2α=1tan2α,即tan α=±55时,等号成立,又因为tan α>55或tan α<-55且tan α≠±33,故上述不等式取不到等号,所以R2>2716且R2≠74,从而S>27π16且S≠7π4.所以圆P面积的取值范围为27π16,7π4∪7π4,+∞.