备战2025年高考二轮复习数学专题突破练20（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练20（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·广东佛山模拟)设直线l:x-2y-a2=0,圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,则l与圆C( )
A.相交B.相切
C.相离D.以上都有可能
答案C
解析圆C:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心为C(1,2),半径为r=1,则圆心C到直线l的距离d=|1-4-a2|5=3+a25≥35>1=r,因此直线l与圆C相离.故选C.
2.(2024·浙江宁波期末)已知点(2,3)在圆x2+y2=r2(r>0)上,直线2x-3y-m=0(m>0)被该圆截得的弦长为2,则m=( )
A.39B.239
C.2D.3
答案B
解析由题知22+32=r2,∴r=13.∵圆心(0,0)到直线2x-3y-m=0的距离d=|2×0-3×0-m|22+(-3)2=|m|13,∴(|m|13)2+12=(13)2,又m>0,解得m=239.故选B.
3.(2024·山西吕梁二模)已知A,B分别是圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)上的动点,若|AB|的最大值为12,则a的值为( )
A.0B.1C.2D.3
答案D
解析圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为r=1,圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)的圆心为C2(a,4),半径为R=6.由题意知|AB|的最大值等于12,则圆C1与圆C2内切,所以|O1O2|=a2+42=6-1=5.又a≥0,所以a=3.故选D.
4.(2024·安徽合肥模拟)若圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为3,则实数a的取值范围是( )
A.(2,4)
B.(0,4)
C.(-23,23)
D.(-23,0)∪(0,23)
答案D
解析因为圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为3,所以圆x2+y2=1与以(a,2)为圆心,3为半径的圆有2个公共点,则圆x2+y2=1与圆(x-a)2+(y-2)2=9相交,所以3-15.(2024·四川成都模拟)已知直线l:y=kx+3与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B两点,若CA·CB=-2,则k=( )
A.-34B.34C.12D.-12
答案A
解析因为CA·CB=|CA||CB|cs∠ACB=4cs∠ACB=-2,所以cs∠ACB=-12,∠ACB=2π3,所以圆心C(1,1)到直线l的距离为1,即|k+2|1+k2=1,解得k=-34.故选A.
6.(2024·广东湛江联考)已知P(x0,y0)是l:x+y-6=0上一点,过点P作圆O:x2+y2=16的两条切线,切点分别为A,B,则当直线AB与l平行时,直线AB的方程为( )
A.x+y=4B.x+y=8
C.3x+3y=16D.3x+3y=8
答案C
解析以OP为直径的圆的方程为(x-x02)2+(y-y02)2=x02+y024,又圆O:x2+y2=16,两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为x0x+y0y=16.由x0+y0-6=0,-y0x0=-1,可得x0=3,y0=3,则直线AB的方程为3x+3y=16.故选C.
7.(2024·山东聊城二模)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线,则下列直线一定不经过点(a,b)的是( )
A.2x+y-2=0B.2x-y+2=0
C.x+y-2=0D.x-y+2=0
答案D
解析圆C1:x2+y2=1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4的圆心C2(a,b),半径r2=2,若圆C1与圆C2恰有一条公切线,则两圆内切,所以|C1C2|=|r1-r2|,即a2+b2=1,所以点(a,b)的轨迹为圆x2+y2=1.选项A,B中的直线与圆x2+y2=1相交,直线必经过点(a,b),选项C中的直线与圆x2+y2=1相切,直线必经过点(a,b),但选项D中的直线与圆x2+y2=1相离,直线不经过点(a,b).故选D.
8.(2024·福建宁德模拟)已知直线l1:mx+y+4=0与直线l2:x-my-6-4m=0交于点P(x0,y0),则x02+y02的最大值为( )
A.4B.8C.32D.64
答案D
解析由题意知,直线l1:mx+y+4=0恒过定点B(0,-4).直线l2:x-my-6-4m=0,即x-m(y+4)-6=0,恒过定点A(6,-4).当m=0时,直线l2的斜率不存在,直线l1的斜率k1=0,则l1⊥l2.当m≠0时,k1=-m,k2=1m,k1·k2=-1,则l1⊥l2.综上,直线l1恒过定点B(0,-4),直线l2恒过定点A(6,-4),且l1⊥l2.因为直线l1与直线l2交于点P(x0,y0),所以点P在以AB为直径的圆上,线段AB的中点坐标为C(3,-4),且|AB|=6,则点P的轨迹方程为(x-3)2+(y+4)2=9(除点(0,-4)外),圆C的半径r=3,因为x02+y02表示圆C上的点到原点O距离的平方,设d=x02+y02,则dmax=r+|OC|=8,所以x02+y02的最大值为64.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·浙江温州模拟)已知圆C1:x2+y2=6与圆C2:x2+y2+2x-a=0相交于A,B两点,若S△C1AB=2S△C2AB,则实数a的值可以是( )
A.10B.2C.223D.143
答案BD
解析两圆方程相减,可得弦AB所在的直线方程为2x+6-a=0.圆C1:x2+y2=6的圆心C1(0,0),圆C2:x2+y2+2x-a=0的圆心C2(-1,0),设圆心C1(0,0)与圆心C2(-1,0)到直线AB的距离分别为d1,d2.因为S△C1AB=2S△C2AB,即12|AB|·d1=2×12|AB|·d2,所以d1=2d2.又d1=|6-a|2,d2=|4-a|2,所以|6-a|2=2×|4-a|2,化简可得3a2-20a+28=0,即(3a-14)(a-2)=0,解得a=2或a=143.故选BD.
10.(2024·湖南长沙模拟)已知直线l:(m-1)x-2my+m+1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=9交于A,B两点,线段AB的中点为M,则下列结论正确的有( )
A.直线l恒过定点(1,1)
B.|AB|的最小值为7
C.△OAB面积的最大值为2
D.点M的轨迹所包围的图形面积为π2
答案AD
解析对于A,直线方程可化为l:m(x-2y+1)+(1-x)=0,则直线l恒过定点P(1,1),故A正确:对于B,设弦心距为d,结合A可知d≤12+12=2,|AB|=29-d2≥27,当OP⊥l时,等号成立,故B错误;对于C,△OAB的面积S=12|AB|·d=d9-d2=-(d2-92) 2+814,当d=2时,Smax=14,故C错误;对于D,易知当点M不与点P重合时,MO⊥MP,又点M可与点P重合,所以点M的轨迹为以OP为直径的圆(不包括圆心O),|OP|=12+12=2,则此圆的面积为π2,故D正确.故选AD.
11.(2024·广东深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中,圆C:x2+y2=1,P为直线l:x-y-2=0上的动点,则下列说法正确的有( )
A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为14
B.圆C与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=9
C.过点P作圆C的一条切线,切点为Q,∠OPQ可以为60°
D.过点P作圆C的两条切线,切点为M,N,则直线MN恒过定点12,-12
答案BD
解析对于A,由题知,圆心O(0,0)到直线l的距离为d=|-2|12+(-1)2=2,圆C的半径为1,由14<2-1,知圆C上不存在点到直线l的距离为14,故A错误;
对于B,x2+y2-6x-8y+m=0整理得(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心为(3,4),半径为25-m(m<25),由题可知两圆外切,则32+42=1+25-m,解得m=9,故B正确;
对于C,由切点为Q,知∠OQP=90°,则在Rt△OQP中,sin∠OPQ=|OQ||OP|=1|OP|,当|OP|最小时,sin∠OPQ取最大值,∠OPQ最大,过点O作OP'⊥l,垂足为P',如图,此时|OP|最小,最小值为|OP'|=|-2|2=2,即sin∠OPQ最大值为22,∠OPQ最大为45°,不可能为60°,故C错误;
对于D,设点P(x0,y0),切点M(x1,y1),N(x2,y2),如图,可得切线MP的方程为x1x+y1y=1,由点P在切线上,得x1x0+y1y0=1,同理可得x2x0+y2y0=1,故点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线x0x+y0y=1上,即直线MN的方程为x0x+y0y=1,又由点P(x0,y0)在直线l:x-y-2=0上,则y0=x0-2,代入直线MN的方程整理得(x+y)x0-2y-1=0,由x+y=0,-2y-1=0,解得x=12,y=-12,即直线MN恒过定点(12,-12),故D正确.故选BD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·湖南常德三模)已知曲线f(x)=xln x-1在x=1处的切线l与圆C:(x-1)2+y2=9相交于A,B两点,则|AB|= .
答案34
解析由f(x)=xln x-1,得定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,则切线l的斜率k=f'(1)=1,又f(1)=ln 1-1=-1,所以切线方程为y-(-1)=x-1,化简为x-y-2=0.又因为圆C的圆心C(1,0),半径r=3,设圆心C到直线l的距离为d,则d=|1-0-2|2=22,所以|AB|=2r2-d2=2×9-12=34.
13.(2024·湖北武汉二模)已知直线l:(m+1)x-y-2m=0(m∈R)与圆C:x2+2x+y2=0相交于A,B两点,则当△ABC的面积最大时,m的值为 .
答案0或-1017
解析由圆C:x2+2x+y2=0,得圆心C(-1,0),半径R=1.因为S△ABC=12|CA||CB|sin∠ACB=12sin∠ACB,所以当△ABC的面积最大时,∠ACB=π2,此时|AB|=2,则△ABC为等腰直角三角形,则圆心C到直线l:(m+1)x-y-2m=0(m∈R)的距离为22.由点到直线的距离公式得|-m-1-2m|(m+1)2+(-1)2=22,解得m=0或m=-1017.
14.(2024·江苏徐州模拟)已知点A(1,0),B(5,0),若PA·PB≤4,则点P到直线3x-y+1=0的距离的最小值为 .
答案10-22
解析设点P(x,y),则PA=(1-x,-y),PB=(5-x,-y),由PA·PB≤4,得(x-1)(x-5)+y2≤4,即(x-3)2+y2≤8,则点P的轨迹是以点C(3,0)为圆心,22为半径的圆及内部,点C(3,0)到直线3x-y+1=0的距离d=|3×3-0+1|32+(-1)2=10>22,所以点P到直线3x-y+1=0距离的最小值为d-22=10-22.