备战2025年高考二轮复习数学专题突破练15 空间角、空间距离（提升篇）（Word版附解析）

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主干知识达标练
1.(15分)(2024河北沧州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°,E是PB的中点.
(1)求异面直线DE与PA所成的角的余弦值;
(2)证明:OE∥平面PAD,并求点E到平面PAD的距离.
(1)解在菱形ABCD中,AC⊥BD,因为∠DAB=60°,所以BD=2OB=2,
所以OA=AB2-OB2=3.
因为PO⊥平面ABCD,AC,BD⊂平面ABCD,所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBO=60°,PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO=OB·tan 60°=3,PO,OB,OC两两垂直.
以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),则AP=(0,3,3).
因为点E是PB的中点,所以E12,0,32,所以DE=32,0,32,
所以cs=323×6=24,所以异面直线DE与PA所成的角的余弦值为24.
(2)证明连接OE.因为点E,O分别是PB,BD的中点,所以OE∥PD.
又OE⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以OE∥平面PAD.
由(1)可知AP=(0,3,3),AD=(-1,3,0),DE=32,0,32.
设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·AD=-x+3y=0,n·AP=3y+3z=0.
令y=1,则x=3,z=-1,所以平面PAD的一个法向量为n=(3,1,-1),所以点E到平面PAD的距离为|DE·n||n|=35=155.
2.(15分)(2024山东潍坊一模)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=42,DD1⊥DC,M为BC的中点.
(1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM;
(2)若D1D=4,求直线DM与平面BCC1B1所成的角的正弦值.
(1)证明在▱ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°.
在△DCM中,CD=2,CM=12BC=4,
所以DM=22+42-2×2×4×12=23,所以DM2+CD2=CM2,
所以DM⊥CD.
又CD⊥DD1,DD1∩DM=D,DD1,DM⊂平面D1DM,所以CD⊥平面D1DM.
又CD⊂平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)解在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,过点A1作A1E∥D1D,交AD于点E,则AE=4,A1E=4.
又AA1=42,所以AE2+A1E2=AA12,所以A1E⊥AD,所以D1D⊥AD.
又D1D⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以D1D⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点,分别以DM,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(23,0,0),所以DM=(23,0,0),MC=(-23,2,0),CC1=(0,-1,4).
设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x,y,z),
则MC·n=-23x+2y=0,CC1·n=-y+4z=0,
令y=43,则x=4,z=3,所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(4,43,3).
设DM与平面BCC1B1所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|DM·n||DM||n|=8323×67=46767,所以直线DM与平面BCC1B1所成的角的正弦值为46767.
3.(15分)(2024湖北襄阳模拟)如图,在四棱锥A-BCDE中,侧棱AB⊥平面BCDE,底面四边形BCDE是矩形,AB=BE=4,点P,M分别为棱AE,AC的中点,点F在棱BE上(不与点B,E重合).
(1)若BFBE=13,求证:直线BM∥平面PCF;
(2)若BC=2,从下面①②两个条件中选取一个作为已知,证明另外一个成立.
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l,直线l与直线CF的夹角的余弦值为255;
②二面角P-CF-E的余弦值为66.
(1)证明
如图所示,取AP的中点N,连接BN,MN.
因为M,N分别为AC,AP的中点,所以MN∥PC.
因为BFBE=13,NPNE=13,所以BN∥PF.又因为MN∩BN=N,MN,BN⊂平面BMN,PC∩PF=P,PC,PF⊂平面PCF,所以平面BMN∥平面PCF.又BM⊂平面BMN,所以BM∥平面PCF.
(2)解若条件①为已知:
因为BC∥DE,BC⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE.
又由BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直线l与直线CF的夹角为∠BCF,所以cs∠BCF=BCCF=255,所以CF=5,BF=1.
以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,0,0),E(0,4,0),P(0,2,2),F(0,1,0),所以FC=(2,-1,0),FP=(0,1,2).设平面PCF的一个法向量为m=(x,y,z),
则m·FC=2x-y=0,m·FP=y+2z=0.令x=1,可得y=2,z=-1,所以平面PCF的一个法向量为m=(1,2,-1).易知平面CEF的一个法向量为n=(0,0,1),所以cs=m·n|m||n|=-16=-66,所以二面角P-CF-E的余弦值为66.
若条件②为已知:
以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BF=m,0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,经过点F1且倾斜角为θ00.联立my=x+1,x24+y23=1,化简得(3m2+4)y2-6my-9=0,
则Δ>0,且y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.因为△ABF2的周长为8,△A'B'F2的周长为152,所以|AF2|+|BF2|+|AB|=8,|A'F2|+|B'F2|+|A'B'|=152.又|AF2|=|A'F2|,|BF2|=|B'F2|,
所以|AB|-|A'B'|=12,
即(x1-x2)2+(y1-y2)2-(x1-x2)2+y12+y22=12, ①
所以-2y1y2(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x1-x2)2+y12+y22=
12,
所以(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x1-x2)2+y12+y22
=-4y1y2. ②
由①+②可得(x1-x2)2+(y1-y2)2=14-2y1y2.
因为(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(my1-1-my2+1)2+(y1-y2)2
=m2+1y12+y22-2y1y2
=m2+1·(y1+y2)2-4y1y2,
所以14-2y1y2=m2+1(y1+y2)2-4y1y2.
将y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4代入上式得14+183m2+4=m2+1·(6m3m2+4) 2+363m2+4=m2+1·36m2+36(3m2+4)(3m2+4)2=m2+13m2+4·144(m2+1)=12(m2+1)3m2+4=4-43m2+4.
所以223m2+4=154,所以m2=2845,解得m=22115或m=-22115(舍去),所以tan θ=1m=33514.