备战2025年高考二轮复习数学专题突破练12 数列解答题（提升篇）（Word版附解析）

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1.(15分)(2024河南信阳模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=n(6+an)2,a4=12,{bn}为正项等比数列,b1=a1-4,b4=a6.
(1)求证:数列{an+1an+2-an2}是等差数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明当n=1时,a1=S1=6+a12,解得a1=6;
当n≥2时,Sn-1=(n-1)(6+an-1)2,
所以an=Sn-Sn-1=n(6+an)2-(n-1)(6+an-1)2,
整理得(n-2)an+6=(n-1)an-1,①
所以(n-1)an+1+6=nan,②
由①-②得2an=an-1+an+1,所以数列{an}为等差数列.
因为a1=6,a4=12,所以数列{an}的公差为12-63=2,所以an=2n+4.
设Mn=an+1an+2-an2(n∈N*),
则Mn=[2(n+1)+4][2(n+2)+4]-(2n+4)2=12n+32,
因为Mn+1-Mn=12(n+1)+32-(12n+32)=12(常数),
所以数列{an+1an+2-an2}是等差数列.
(2)解设数列{bn}的公比为q(q>0),
结合(1)及已知得b1=a1-4=2,b4=b1q3=16,解得q=2,所以bn=2n.
2.(15分)(2024福建厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=2a1=4,当n∈N*,且n≥2时,Sn+1=3Sn-2Sn-1.
(1)证明:{an}为等比数列;
(2)设bn=an(an-1)(an+1-1),记数列{bn}的前n项和为Tn,若Tm+17×2m-2>1,求正整数m的最小值.
(1)证明因为当n≥2时,Sn+1=3Sn-2Sn-1,变形得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),即an+1=2an,
又a2=2a1=4,故an+1=2an在n∈N*上都成立,且a1=2,
所以{an}是首项、公比均为2的等比数列.
(2)解由(1)知an=2n,则bn=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,
所以Tn=1-13+13-17+…+12n-1-1-12n-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,
则Tm+17×2m-2=1-12m+1-1+17×2m-2>1,即7×2m-21,可得m>2,而m∈N*,故正整数m的最小值为3.
3.(15分)(2024山西大同模拟)已知等比数列{an}的公比q>1,且a1,a2,a3-1是公差为d的等差数列{bn}的前3项.
(1)求q+d的最小值;
(2)在q+d取最小值的条件下,设cn=an(bn-1)bnbn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn1,
所以q+d=q-1+1q-1+1≥2(q-1)×1q-1+1=3,
当且仅当q-1=1q-1,
即q=2时等号成立.
所以q+d的最小值为3.
(2)由(1)知,当q+d取最小值时,q=2,d=1,a1=1,
所以an=2n-1,bn=n.
所以cn=an(bn-1)bnbn+1=2n-1(n-1)n(n+1)=2nn+1-2n-1n,
所以Tn=(1-1)+43-1+84-43+…+2nn+1-2n-1n
=-1+1-1+43-43+84-…-2n-1n+2nn+1=2nn+1-1.
又an+1bn+1=2nn+1,
所以Tn-an+1bn+1=-1