备战2025年高考二轮复习数学专题突破练9 三角函数与解三角形解答题（提升篇）（Word版附解析）

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1.(13分)(2024陕西西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且csAa+csCc=1b,a>b>c.
(1)证明:b2=ac;
(2)若b=2,sin B=74,求a+c的值.
(1)证明因为csAa+csCc=1b,
所以由余弦定理可得b2+c2-a22abc+a2+b2-c22abc=1b,
整理得到b2=ac.
(2)解由(1)得b2=ac=4,sin B=74,
又因为a>b>c,
所以B∈0,π2,
则cs B=1-sin2B=34.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B,
即4=a2+c2-6,
由a2+c2=10,ac=4,得(a+c)2=a2+c2+2ac=18,
所以a+c=32(负值舍去).
2.(13分)(2024北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin 2B=37bcs B.
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
①b=3;②cs B=1314;③csin A=52 3.
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
解(1)∵sin 2B=37bcs B,
∴2sin B·cs B=37bcs B.
又A为钝角,
∴B∈0,π2,∴cs B≠0,
∴2sin B=37b,
∴bsinB=1433.
由正弦定理得asinA=bsinB,则7sinA=1433,
∴sin A=32,∴A=2π3.
(2)若选①.
由(1)知A=2π3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即49=9+c2-2×3×c×cs2π3,即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
若选②.
由cs B=1314,得sin B=3314.
又2sin B=37b,∴b=3.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
即49=9+c2-2×3×c×cs2π3,
即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
若选③.
由csin A=532,得32c=532,∴c=5.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
即49=b2+25-2×b×5×cs2π3,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
3.(13分)(2024河北衡水一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=-233S+abcs C.
(1)求∠ABC;
(2)求2AD+1CD的取值范围.
解(1)∵a2=-233S+abcs C,
∴a2=-33absin C+abcs C,
即a=-33bsin C+bcs C,
由正弦定理得,sin A=-33sin∠ABCsin C+sin∠ABCcs C,
∴sin(∠ABC+C)=-33sin∠ABCsin C+sin∠ABCcs C,
∴cs∠ABCsin C=-33sin∠ABCsin C.
∵sin C≠0,
∴tan∠ABC=-3.
由0