备战2025年高考二轮复习数学专题突破练7（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练7（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·广东韶关模拟)已知sin α=-35,且π<α<3π2,则tan α=( )
A.-45B.-34C.34D.45
答案C
解析由sin α=-35,π<α<3π2,得cs α=-1-sin2α=-45,所以tan α=sinαcsα=34.故选C.
2.(2024·浙江杭州期中)已知角α的终边经过点P(-1,3),则cs(π+α)csπ2+α-csα=( )
A.12B.-12C.14D.-14
答案B
解析由题可得,cs(π+α)csπ2+α-csα=-csα-sinα-csα=csαsinα+csα.已知角α的终边经过点(-1,3),可得cs α≠0,且tan α=-3,则csαsinα+csα=1tanα+1=-12.故选B.
3.(2024·安徽黄山一模)已知sin αsin β=15,cs(α-β)=35,则cs(α+β)=( )
A.-15B.15C.1825D.-2325
答案B
解析因为sin αsin β=15,cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=cs αcs β+15=35,解得cs αcs β=25,故cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=25-15=15.故选B.
4.(2024·福建漳州一模)在平面直角坐标系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,则tan θ=( )
A.3B.2C.4D.5
答案A
解析如图,设角α,β终边上的点分别为A,B,A(-1,2),B(2,2),
则tan α=2-1=-2,tan β=22=1.因为射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,所以α=β+θ,所以tan θ=tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=-2-11+(-2)×1=3.
故选A.
5.(2024·河北沧州二模)化简cs20°-sin30°cs40°sin40°cs60°=( )
A.1B.3C.2D.233
答案B
解析由题得cs20°-sin30°cs40°sin40°cs60°
=cs(60°-40°)-sin30°cs40°sin40°cs60°
=sin60°sin40°sin40°cs60°=tan 60°=3.故选B.
6.(2024·江西鹰潭一模)已知θ∈0,π2,tanθ+π4=-23tan θ,csθ+π2cs2θ2sinθ+π4=( )
A.-12B.-35C.3D.35
答案D
解析因为tanθ+π4=-23tan θ,所以tanθ+11-tanθ=-23tan θ,整理可得2tan2θ-5tan θ-3=0.又θ∈0,π2,即tan θ>0,解得tan θ=3,
所以csθ+π2cs2θ2sinθ+π4=-sinθ(cs2θ-sin2θ)sinθ+csθ=-sin θ(cs θ-sin θ)=-sinθcsθ+sin2θsin2θ+cs2θ=-tanθ+tan2θtan2θ+1=-3+3232+1=35.故选D.
7.(2024·江苏南通二模)若cs α,csα-π6,csα+π3成等比数列,则sin 2α=( )
A.34B.-36C.13D.-14
答案B
解析由cs α,csα-π6,csα+π3成等比数列,得cs2α-π6=cs αcsα+π3,
即12[1+cs2α-π3]=cs α(12cs α-32sin α),则12+14cs 2α+34sin 2α=14+14cs 2α-34sin 2α,所以sin 2α=-36.故选B.
8.(2024·河南新乡二模)已知sin(130°+α)=2cs 20°cs α,则tan(α+45°)=( )
A.-2+3B.2-3
C.2+3D.-2-3
答案A
解析由题得,sin(130°+α)=sin[150°+(α-20°)]=12cs(α-20°)-32sin(α-20°),
2cs 20°cs α=cs(α+20°)+cs(α-20°).
因为sin(130°+α)=2cs 20°cs α,
所以12cs(α-20°)-32sin(α-20°)=cs(α+20°)+cs(α-20°),所以-12cs(α-20°)-32sin(α-20°)=cs(α+20°),
即cs[120°+(α-20°)]=cs(α+20°),
即cs(100°+α)=cs(α+20°),
所以100°+α=α+20°+k·360°或100°+α+α+20°=k·360°,k∈Z,所以α=-60°+k·180°,k∈Z,故tan α=tan(-60°+k·180°)=-3,k∈Z,
所以tan(α+45°)=-3+11+3=3-2.故选A.
二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3,4),则( )
A.cs 2θ=-725B.tan 2θ=-247
C.csθ2=255D.tanθ2=12
答案ABD
解析因为角θ的终边过点P(3,4),
所以cs θ=332+42=35,sin θ=432+42=45,tan θ=43,所以cs 2θ=2cs2θ-1=2×925-1=-725,tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2×431-169=-247,故A,B正确;
因为2kπ<θ<2kπ+π2(k∈Z),所以kπ<θ20,但csθ2>0或csθ2<0均满足题意,故C错误;
由tan θ=2tanθ21-tan2θ2=43,得2tan2θ2+3tanθ2-2=0,解得tanθ2=-2(舍去)或tanθ2=12,故D正确.故选ABD.
10.(2024·河北保定二模)一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义:
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cs α,即x=cs α;
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割,记作csc α,即1y=csc α;
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割,记作sec α,即1x=sec α.
下列结论正确的有( )
A.csc 5π4=-2
B.cs α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}
D.sec2α+sin2α+csc2α+cs2α≥5
答案ABD
解析由题得,csc5π4=1sin5π4=-2,故A正确;
cs α·sec α=cs α·1csα=1,故B正确;
函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},故C错误;
sec2α+sin2α+csc2α+cs2α=1+1cs2α+1sin2α=1+1sin2αcs2α=1+4sin22α≥5,
当sin 2α=±1时,等号成立,故D正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
11.(2024·上海奉贤二模)已知α∈[0,π],且2cs 2α-3cs α=5,则α= .
答案π
解析已知2cs 2α-3cs α=5,由倍角公式得4cs2α-3cs α-7=(4cs α-7)(cs α+1)=0.
由α∈[0,π],cs α∈[-1,1],
解得cs α=-1,
则α=π.
12.已知α,β∈0,π2,且sin α-sin β=-12,cs α-cs β=12,则tan α+tan β= .
答案83
解析由题可知sin α-sin β=-cs α+cs β,
所以sin α+cs α=sin β+cs β,
所以2sinα+π4=2sinβ+π4.
因为α,β∈0,π2,
所以α+π4∈π4,3π4,β+π4∈π4,3π4.
又α≠β,所以α+π4+β+π4=π,故α+β=π2,
所以sin α-sin β=sin α-cs α=-12,
两边平方后得sin2α-2sin αcs α+cs2α=14,
故sin αcs α=38,则tan α+tan β=tan α+1tanα=sinαcsα+csαsinα=1sinαcsα=83.
13.(2024·河北邯郸二模)正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cs α+cs 2α+cs 3α+cs 4α= ,cs αcs 2αcs 3α·cs 4α= .
答案0 116
解析由题可得,正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形,五个三角形各自的内角之和为180°,则正五边形的内角和180°×(5-2)=180°×3=540°,每个角为540°5=108°.因为三角形是等腰三角形,底角是五边形的外角,即底角为180°-108°=72°.又三角形内角和为180°,那么三角形顶角,即五角星尖角为180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=36°.
则cs α+cs 2α+cs 3α+cs 4α=cs 36°+cs 72°+cs 108°+cs 144°=cs 36°+cs 72°+cs(180°-72°)+cs(180°-36°)=cs 36°+cs 72°-cs 72°-cs 36°=0,cs αcs 2αcs 3αcs 4α=cs 36°cs 72°cs 108°cs 144°=(cs 36°cs 72°)2.
因为cs 36°cs 72°=2sin36°·cs36°·cs72°2sin36°=sin72°·cs72°2sin36°=sin144°4sin36°=14,
所以cs αcs 2αcs 3αcs 4α=116.
四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14.(15分)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,求tan β的最大值.
解因为α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,
所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α=2[sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α],
即3cs(α+β)sin α=sin(α+β)cs α,
所以tan(α+β)=3tan α.因为tan α>0,tan β>0,所以tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα,所以tan β=2tanα1+3tan2α=21tanα+3tanα≤221tanα·3tanα=33,当且仅当1tanα=3tan α,即tan α=33时,等号成立,
所以tan β的最大值为33.